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책소개
목차
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감사의 글
옮긴이의 글 이 책을 읽는 법 서문 첫 번째 강의. 진리, 그리고 아름다움 창조 | 진리 | 논리 | 복합명제 | 세 가지 작은 단어들 | 모델 두 번째 강의. 하나, 둘, 셋,…, 무한대 셈 | 무한집합 | 러셀의 패러독스 | 불 대수 | 논리와 집합 세 번째 강의. 셈을 넘어서 덧셈, 곱셈, 순서 | 정수 | 유리수 | 조작 네 번째 강의. 수론 소수 | 에라토스테네스의 체 | 수학적 귀납법 | 순서 정렬원리 | 나눗셈 알고리즘 최대공약수 | 동치관계 | 군/되돌아가기/추측 다섯 번째 강의. 실수와 허수 측정 때문에 빚어진 살인 | 실수 직선 | 실수의 연산 | 셀 수 없는 무한 그리고 | 복소수 여섯 번째 강의. 수 기계 데카르트의 꿈 | 그래프 | 점 사이의 거리 | 함수의 결합 | 역함수 | 초월수 일곱 번째 강의. 확률 유한 표본공간 | 기본 성질들 | 조건부 확률 | 세어보기 기술 | 기댓값 | 통계 무한 표본공간 여덟 번째 강의. 미적분 적분 | 미분 | 미적분학의 기본정리 | 극한 | 아름다움 그리고 힘 아홉 번째 강의. 패턴과 패러독스 궤변 | 패러독스 열 번째 강의. 요약 유용성에 대한 심미적 원칙 | 거울 이미지 |
저자 소개 2
Jerry P. King
미국 리하이대학교 수학과 명예교수이자 대학원 명예학장이다. 45년 이상 수학을 가르쳤으며, 리하이대학교에서 가장 훌륭한 교수에게 주는 상을 두 번이나 수상했다. 평론가들의 격찬을 받은 《수학이라는 예술(The Art of Mathematics)》을 썼으며, 많은 전문지와 평론지에 수학 관련 글들을 기고하고 있다.
Young Hoon Park
서울대학교 수학교육과를 졸업하고, 미국 몬타나주립대학교에서 석사 학위(수학)를 취득했다. 그 후에 다시 교실로 돌아와 학생들을 가르쳤다. 서울대학교 교육학과 박사과정을 수료하였고, 지금은 홍익대학교 수학교육과 겸임교수와 나온교육연구소 이사장으로 재직 중이다. 저서로는 『새로 쓰는 초등수학 교과서』 시리즈, 『기호와 공식이 없는 수학카페』, 『아무도 풀지 못한 문제』가 있으며, 번역서로는 『수학대소동』, 『수학, 문명을 지배하다』 등이 있다. 1992년 교육부장관으로부터 수학영재 지도교사상을, 2001년 과학기술부장관으로부터 과학도서번역상을 받았다.
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품목정보
책 속으로
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수학은 맥베스에게 환영으로 비친 공중의 단검과 같이 우리 마음속에 존재한다. 수, 방정식들 그리고 행렬과 같은 수학적 대상들은 모두 추상적인 상상의 산물이다. 그것들은 우리의 실제 삶에는 존재하지 않는다. 물론, 수학적 기호라는 것이 실제 생활에 존재하는 사물인 종이 위에 쓰여 있거나 책에 인쇄되어 있기도 하다. 하지만 그 기호가 가리키는 대상 자체는 마음 속 깊은 어디인가에서 나왔다는 점을 잊지 말아야 한다. 수학은 단순히 잉크로 만들어진 것이 아니다.
---p.24 면도를 깨끗하게 하는 사람들의 마을에 한 이발사가 살고 있다. 굳이 정의를 내리자면, 이발사는 스스로 면도를 하지 않는 사람들만 면도를 해준다. 이발사 자신은 어떻게 면도를 할 수 있을까? 만일 그가 스스로 면도를 한다면 그는 이발사에 의해 면도를 하는 셈이다. 그렇다면 그는 스스로 면도를 하지 않는 사람이 된다. 반면에 그가 스스로 면도를 하지 않는다고 하면 이발사에 의해 면도를 해야만 한다. ---p.91 만일 당신이 유리수 n/m을 분수로 생각하고 있다면, 어쩌면 학교에서 들었던 “a/b는 정수 a를 정수 b로 나눈 것”이라는 표현을 떠올릴 수도 있을 것이다. 유리수의 정의에 있어 나눗셈 개념이 전혀 언급된 적이 없었으므로 이러한 표현이 불필요하다는 것을 제외하고는 잘못된 것은 전혀 없다. 그러나 우리는 x/y 라는 (수의 집합이 아닌) 형식의 기호들의 집합을 확장하면서 동시에 나눗셈 개념을 도입할 것이다. ---p.157 학교에서 이와 같은 과정을 소인수분해라고 한다. 30이 주어지면 이를 “육과 오의 곱”으로 분해하는 것이다. 다음에 6을 다시 “이와 삼의 곱”으로 분해한다. 이에 따라 우리는 30=2·3·5라는 결과를 얻는 것이다. 하지만 이 과정은 여기서 끝난다. 왜냐하면 2, 3, 5는 어떤 수로도 더 이상 분해되지 않기 때문이다. 그러한 자연수를 소수라고 부른다. 즉, 2, 3, 5는 소수의 예이다. 30=2·3·5이라는 표현은 30을 소수들의 곱으로 표기한 것이다. ---p.170 우리가 보통 사용하는 등호는 관계를 나타내는 하나의 사례로 생각할 수 있다. 예를 들어, “두 정수 m과 n이 관계를 가질 필요충분조건은 m=n이다”라고 말할 수 있다. 같은 방식으로 나머지 m에 대하여 합동은 두 정수 사이의 또 다른 관계를 제공한다. “a와 b가 관계를 가질 필요충분조건은 a≡bmodm이다”고 말할 수 있기 때문이다. ---p.203 그렇다면 집합 Q는 어찌된 것인가? 유리수의 집합은 자연수의 집합과 실수의 집합 사이에 놓여있다. 즉, N⊂Q⊂R이다. N은 가산이고 R은 비가산이다. 그렇다면 Q는 얼마나 큰 것일까? Q는 가산이고 따라서 N과 같은 개수의 원소들을 포함하고 있음이 밝혀졌다. 이 사실을 증명하는 하나의 방안은 Q의 원소들을 이중으로 무한히 배열하는데, 첫 행은 분모가 1인(약분된 형태로) 유리수들 전체로, 두 번째 행은 분모가 2인 유리수들 전체로, … 등등과 같이 하는 것이다. ---p.250 실제 생활에서부터 우리는 종종 서로소이거나 독립적인 상황을 가정하게 된다. 물론 이는 수학적 모델에 대한 가정이 되기도 한다. 예를 들어 보자. 예 5. 공정한 동전을 두 번 던졌다. 사건 A와 B를 다음과 같이 정의하자. A= “첫 번째 동전을 던져 앞면이 나온다” B= “두 번째 동전을 던져 앞면이 나온다” ---p.300 유명한 뉴턴의 법칙은 운동 법칙이며, 이를 나타내기 위해서 뉴턴은 속도와 속도의 변화율을 뜻하는 가속도를 기술하기에 충분한 수학이 필요했다. 그러나 그가 가장 먼저 필요로 한 것은 순간 속도라는 개념에 정확한 의미를 부여하는 것이었다. 그림 63에 나타난 입자는 함수 s=f(t)에 따라 매우 불규칙하게 속도를 올렸다가 또는 늦추기도 하면서 움직이고 있다. 그렇다면 어느 특정 순간에 그 입자의 속도가 얼마라고 하는 것은 무슨 뜻인가? ---p.353 |
출판사 리뷰
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수포자에게 희소식! 공식을 몰라도 술술 풀리는
수학 학습의 새로운 패러다임이 나왔다! - 10개의 강의로 재구성한 수학의 본질 이 책은 수학을 ‘방대한 지식의 집합’이 아니라, 몇 개의 근본 원리에서 출발해 확장되는 하나의 체계로 설명한다. 저자는 수학자들이 실제로 사고하는 방식을 그대로 독자에게 전달한다. 즉 기본 원리에서 출발해 모든 것을 유도해 낸다. 따라서 독자는 공식을 외우는 대신, 수학이 어떻게 생성되고 연결되는지를 이해하게 된다. 수학은 현실 세계에 존재하는 것이 아니라, 인간의 사고 속에서 만들어진 추상적 구조다. 숫자조차 실제 사물이 아니라 개념이며, 수학 전체는 이러한 개념들의 체계로 이루어진다. 책은 “현실 세계와 수학적 세계는 분리되어 있다”라는 관점을 통해, 수학을 단순 계산이 아닌 사유의 산물로 재정의한다. 이 지점에서 독자는 수학을 완전히 새로운 시각으로 바라보게 된다. 수학은 발견이 아니라 ‘창조’다 저자는 수학을 ‘발견된 것’이 아니라 ‘만들어진 것’으로 본다. 수학자는 기존 지식을 정리하는 사람이 아니라, 새로운 개념과 구조를 창조하는 존재다. 이 책은 플라톤주의(발견)와 구성주의(창조) 논쟁까지 소개하며, 수학이 단순한 학문을 넘어 철학적 사유의 영역임을 보여준다. 독자는 수학을 배우는 동시에, 지식이 어떻게 만들어지는지도 함께 이해하게 된다. 현실 세계에서는 관찰을 통해 ‘거의 맞는 것’만 확인할 수 있다. 그러나 수학에서는 논리를 통해 ‘완전히 참인 것’을 증명할 수 있다. 책은 “진리는 수학적 세계에 존재한다”라는 관점을 중심으로, 왜 수학이 가장 확실한 지식 체계인지 설명한다. 이는 과학과 수학의 근본적인 차이를 이해하게 만드는 핵심 장치다. 수학의 핵심은 ‘논리적 함의’다 수학은 결국 “만약 p라면 q이다(p ⇒ q)”라는 구조로 이루어진다. 모든 정리와 증명은 이 논리적 연결을 정교하게 쌓아 올린 결과다. 책은 함의, 역, 필요조건과 충분조건 같은 개념을 통해 수학의 언어를 설명하며, 독자가 ‘수학의 문장’을 읽을 수 있도록 돕는다. 책은 또 수 체계의 확장을 통해 인간 사고의 진화 과정을 보여준다. 자연수에서 시작해 정수, 유리수, 실수, 복소수로 확장되는 과정은 단순한 계산의 발전이 아니라 사고의 확장이다. 이 책은 각 수 체계가 왜 필요했는지를 설명하며, 수학이 문제 해결 과정에서 어떻게 발전해 왔는지를 보여준다. 독자는 숫자를 외우는 것이 아니라, 숫자가 탄생한 이유를 이해하게 된다. 좌표, 함수, 확률, 미적분 등 수학의 핵심 공식을 원리로 쉽게 해설한다 데카르트 좌표계와 함수 개념은 ‘현실을 수학으로 번역하는 도구’다. 책은 그래프, 거리, 함수의 결합과 역함수 등을 통해 어떻게 공간과 관계가 수학적 구조로 표현되는지를 설명한다. 이는 현대 과학과 기술의 기반이 되는 사고 방식이다. 확률은 우연처럼 보이는 현상을 수학적으로 설명하려는 시도다. 조건부 확률, 기대값, 통계 개념을 통해 책은 “불확실성조차 구조적으로 이해할 수 있다”라는 점을 보여준다. 이는 현대 데이터 사회를 이해하는 핵심 도구이기도 하다. 미적분은 정적인 값이 아니라 ‘변화’를 다루는 수학이다. 극한, 미분, 적분, 그리고 미적분학의 기본 정리를 통해, 변화와 축적이 어떻게 연결되는지를 설명한다. 더불어 수학이 자연 현상을 설명하는 가장 강력한 도구임을 보여준다. 패턴과 패러독스: 수학의 경계에서 사고하기 수학자들의 실제 학습 방식에 답이 있다! 마지막으로 책은 패턴과 역설을 통해, 수학이 단순한 정답의 학문이 아니라 사고를 확장하는 도구임을 드러낸다. 논리적 모순과 패러독스를 탐구하는 과정에서, 독자는 수학의 한계와 가능성을 동시에 경험하게 된다. 궁극적으로 이 책은, 수학은 많은 것을 아는 것이 아니라, 핵심을 정확히 이해하는 것이라는 메시지를 전한다. 몇 개의 기본 개념을 제대로 이해하면, 나머지는 그로부터 자연스럽게 확장된다. 이것이 바로 수학자들이 실제로 공부하는 방식이며, 이 책이 제시하는 새로운 학습법이다. 수학을 다시 시작하고 싶은 성인 독자, 개념 중심으로 수학을 이해하고 싶은 학생, 수학의 전체 구조를 한 번에 정리하고 싶은 독자들에게 강력하게 추천하는 책이다. 수식의 굴레에서 벗어나 수학의 진정한 아름다움을 발견하고자 하는 모든 이들에게 이 책은 최고의 선택이 될 것이다. |
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