1. 손해×손해=이익? 아니, 이런 황당한 일이…

양수에 양수를 곱하면 양수가 되고, 모든 수에 0을 곱하면 0이 된다는 건 너희들 모두 알고 있지?
그러면 음수에 양수를 곱하면 어떻게 될까?

예를 들어 ?을 계산한다고 해 보자. 이 경우 -2를 3배 한 것이니까 이 되지? 결국 음수에 양수를 곱하면 음수가 된다는 걸 알 수 있단다. 다시 말해 ?가 되는 거야.

이번에는 음수에 음수를 곱하면 어떻게 되는지 알아볼까? 우선 다음 식을 잘 살펴보면서 규칙을 찾아보도록 하자.

일정한 수 -2에 곱하는 수가 1씩 작아짐에 따라 두 수의 곱은 2씩 커지고 있는 규칙이 보이니? 이 규칙을 따라가다 보면 음수에 음수를 곱하면 양수가 된다는 걸 알 수 있단다. 그러니까 가 되는 거야.

“수학 요정! 이익은 +, 손해는 -로 나타낼 수 있다고 하셨잖아요. 그렇다면 니까 ‘손해×손해=이익’이 되는 건가요?”
“그것은…. 한 번 생각해 보자. 전봇대 위에 참새가 세 마리 앉아 있는데 그 중 한 마리를 사냥꾼이 총으로 쐈다면 전봇대 위에 남아 있는 참새는 몇 마리겠니? 과연 총소리를 듣고도 날아가지 않을 만큼 간이 배 밖으로 나온 참새가 있겠니?”

“아니요. 그런 참새는 한 마리도 없을 거예요. 그러니까 전봇대 위에는 한 마리의 참새도 남지 않게 돼요.”
“당연히 그렇겠지? 그런데 이 경우에도 무조건 뺄셈의 논리를 적용해 ‘은 엉터리야!’라고 고집하며 떼를 쓰면 되겠니? 이와 같이 적용하기에 적절하지 못한 현실을 수학의 논리에 억지로 끼워 맞춰서는 절대로 안 된단다. 예를 들 때는 적절한 예를 들어야 하는 거야. 라는 것을 설명하기 위해 ‘손해×손해=이익’이라고 하는 것은 아무래도 부적절하지? 손해에 손해가 이어지면 더 많은 손해라는 결과를 가져오는 것이 현실이니까 말이야. 따라서 이때는 덧셈의 논리 ‘’를 적용하는 게 적절할 것 같구나.”

“그렇다면 를 설명하기 위한 적절한 예는 없나요?”
“있고말고. ‘까만개는 수학을 좋아하지 않는 것이 아니다.’와 같은 이중 부정이 담고 있는 뜻을 생각해 볼까? 이 말은 결국 ‘까만개는 수학을 좋아한다.’는 뜻이니까 ‘부정×부정=긍정’이 되는 거잖니? 그러니까 가 되는 셈이지. 이처럼 에 해당하는 예를 너희들도 한 번 찾아보렴.”

“제가 수학 실력이 부족해서 그런 질문을 한 게 아니에요. 다만 수학 요정의 확실한 답변이 듣고 싶었을 뿐이라구요.”
“그래, 무슨 말인지 알겠다. 자, 그럼 여기서 한 가지 명심해 두도록 하자. 수학은 대부분 실생활의 필요에 의해 생겨났지만 생활 그 자체가 수학인 것은 아니고, 수학은 다만 추상화된 세계일 뿐이라는 사실을. 다시 말해서 수학은 현실을 잘 반영하고 있고 현실을 이해하는 데 많은 도움을 주기도 하지만, 모든 현실에 딱딱 맞아떨어지는 것은 아니란 얘기야.”

오! 아름다운 수학 세상!
수학 요정 “전봇대 위에 참새가 세 마리 앉아 있는데 지나가던 사냥꾼이 참새 한 마리를 총으로 쐈단다. 그렇다면 전봇대 위에 남아 있는 참새는 몇 마리겠니?”
까만개 “두 마리요.”
굴 “아니야. 한 마리도 없어.”
수학 요정 “왜 한 마리도 없지?”
굴 “총소리에 놀라 다 날아갔으니까 남은 참새는 하나도 없지요.”
까만개 “무슨 소리야? 세 마리 중에서 한 마리를 총으로 쐈다면 니까 두 마리가 남아야지. 그런데 네 말대로라면 이라는 얘기잖아. 말이나 되는 소리니?”
수학 요정 “뭐라고?”
아름다운 수학 세상입니다.

소문은 무한소수

소문은 무한소수
끝이 없는 무한소수
실수로 한 번
퍼지게 되면
꼬리에 꼬리를 물고
불어나
걷잡을 수 없이
늘어만 가는
소문은 무한소수