수학자의 진정한 만족감은 이해하는 데 있다

이탈리아의 현직 수학교사인 안나 체라솔리가 쓴 이 책《놀라운 수의 세계》의 주제는 위에 인용한 할아버지의 말에 이미 녹아들어 있다. 수학은 과학이며, 세상의 이치를 이해하는 일이다. 수학은 당장 돈을 벌어주지는 못하지만, 어떠한 문제도 해결할 수 있는 ‘사고력’을 길러준다. 그러나 정답과 성적만을 목표로 문제풀이에 급급한 수학 공부는 실리와 성과만을 바라는 철없는 어린 손자의 태도와 다를 바 없다. 원리와 개념의 이해가 중요한 까닭이 여기에 있다. 이 책에서 할아버지는 손자에게 결코 계산법을 가르치지는 않는다. 오히려 할아버지가 강조하는 것은 수학의 원리, 그리고 수학을 대하는 바른 태도이다.
이 책을 가만히 읽다보면 우리가 그동안 얼마나 수학을 잘못 배웠는지 돌아보게 된다. 우리의 수학시간은 수식과 계산, 속도 경쟁으로 채워졌다. 이것이 우리 사회의 팍팍한 모습, 과정을 도외시하는 결과지상주의와 결코 무관해 보이지 않는다. 다행히 교육은 변화하고 있다. 제7차 교육과정에서 수학 교육의 목표는 논리적 사고력과 실생활에서의 문제 해결 능력을 강조하며, 이에 발맞춰 수학에서 서술형 문제가 많아지고 통합논술의 비중도 커지고 있다. 이런 변화하는 교육환경에서 이 책은 이제 막 수학의 원리와 개념에 다가서려는 학생들, 그리고 이런 학생들을 효과적으로 가르칠 방법을 고민하는 선생님?학부모에게 모두 유용한 길잡이가 되어줄 것이다.
안나 체라솔리는 전작인《수의 모험》에서 십진법, 0의 개념, 무리수, 방정식 등 수학의 기본 개념을 주로 설명한 데 이어, 이 책《놀라운 수의 세계》에서는 순열, 조합, 벤 다이어그램 등 좀더 난이도를 높인 개념들 외에 집합, 대수학, 삼단논법, 통계 등 ‘논리적 사고력’ 부분에 주안점을 두고 있다.

어떻게 하면 원리를 이해할 수 있을까?

로또 번호 맞추기, 조각케이크 나누기, 스누피 그림 바꾸기, 주사위 놀이, 암호 만들기는 어떻게 수학의 집합, 순열, 산술삼각형, 정규분포곡선, 논리연산, 통계와 연결될까?
이 책의 주인공은 열 살짜리, 초등학교 3학년쯤 되는 필로다. 필로가 누구보다 잘 따르는 이는 고등학교 수학선생님이셨던 할아버지다. 이 책은 필로와 할아버지가 나누는 18편의 수학 이야기로 이루어져 있다. 주인공 필로는 어떤 새로운 개념이 나와도 두려워하지 않고 오히려 할아버지가 가르쳐주는 지식을 최대한 이용하여 무언가 수확을 따내려 한다. 로또 복권에 당첨되는 방법, 우주의 외계인과 소통할 암호 만들기, 삼단논법을 써서 엄마에게 플레이스테이션 사달라기……. 이런 적극성은 수학의 원리를 이해하고 나서 스스로 실생활의 사례를 발견해내는 것으로 이어진다.
그런데 주인공이 초등학생이라고 해서 여기서 다루는 수학을 만만히 볼 일은 아니다. 우리나라 교육과정으로는 중학교, 심지어는 고등학교에 가야 나오는 어려운 수학 개념들이 속출한다. 계승, 조합, 삼단논법, 벤 다이어그램, 로그, 논리합과 논리곱, 대푯값, 기술통계와 추측통계…….
그러나 할아버지의 설명은 어디까지나 아이의 눈높이에 맞춰져 있다. 모든 개념을 정색하고 본격적으로 가르치는 것이 아니라 기본 개념과 원리를 아이 스스로 이해하도록 하는 데 중점을 둔다. 또한 그런 수학의 원리는 책 속에 갇혀 있지 않고 실생활에서 자연스럽게 ‘나타난다’. 이때의 수학은 문제풀이에 목적이 있지 않고 아이에게 순수한 ‘발견’의 기쁨을 알게 해준다.

놀라운 수학적 발견들

수학의 가치가 복잡한 계산에 있지 않고, 원리의 이해와 논리적 사고력을 키우는 데 있다는 점은 누구나 안다. 방법을 모를 뿐이다. 그런 면에서 이 책은 어떻게 하면 아이들이 수학의 원리를 이해하고 ‘수학하는 즐거움’을 느낄 수 있는지에 대한 유용한 지침을 제공한다. 그래서인지 이 책에서는 그 흔한 수학 공식도 찾아보기 어렵다. 언뜻 어려워 보이는 수학 개념을 다루면서도 예로 드는 표나 계산, 논법은 사칙연산을 알고 상식적 수준의 이해만 있어도 될 만큼 쉽고 간단하며, 비슷한 개념을 다양하게 변주하여 설명하고 있어 수학의 묘미를 맛볼 수 있게 한다.
예를 들어 ‘축구토토’에서 축구 경기의 결과가 만들어내는 모든 경우의 수를 다루면서 할아버지는 ‘수형도’와 ‘거듭제곱’을 설명한다. 이어 박테리아의 분열과 사무라이의 칼 제조과정을 가지고 로그와 제곱의 원리를 다룬다. 여러 가지 그림과 철자의 배열을 바꾸는 놀이를 통해서는 순열과 계승을, 조각케이크 나누기에서는 산술삼각형이 등장한다. 그러고 나서 8장에 이르러 핵분열을 설명한다. 그런데 사실 수형도와 산술삼각형, 제곱?로그?분열은 비슷한 개념의 반복이고 확장이다. 여기에서 할아버지는 박테리아와 사무라이 칼의 유사성을 상기시키면서 곧바로 수학의 ‘추상성’을 설명한다.
“박테리아와 사무라이의 칼 기억나니? 그 두 상황에서 제일 다른 점이 무엇일까? 하지만 수학자에게는 둘 다 똑같은 거란다. 왜냐하면 둘 다 같은 그림이 있기 때문이야. 똑같은 뼈대 구조라고 할 수 있지. ……바로 이런 추상적인 구조가 수학자의 진정한 관심사란다!”(p.91)
이어 할아버지는 축구토토와 핵분열이 얼마나 비슷한 구조인지를 알려주고, 더 나아가 은행의 적금이 불어나는 과정과 양떼가 새끼를 낳으면서 수가 늘어나는 상황도 같은 원리임을 설명한다. 간단한 수학 원리 하나가 실생활에 얼마나 다채롭게 스며들어 있는지를 보여줌으로써 아이에게 현대 수학의 매력을 일깨워주는 것이다.
또 할아버지는 수학의 논리곱(pp.124~125 참고) 개념의 실례를 들기 위해 손자와 함께 직접 전기회로를 만들어본다. 이 회로는 두 개의 단속자가 모두 닫혀 있어야만 전구에 불이 들어오는 논리곱(또는 교집합) 연산의 모델이다. 이에 대해 할아버지는 은행금고의 잠금장치도 이와 같은 원리임을 설명하는데, 주인공 필로도 지지 않고 자기 책가방을 열려면 양쪽 잠금장치를 모두 열어야 한다는 사실을 ‘발견’해낸다. 그러나 여기서 끝나는 것이 아니다. 할아버지는 위의 전기회로에서 나온 기호 1(전류의 흐름)과 0(전류의 차단)을 근간으로 한 단순한 원리가 파스칼과 라이프니츠를 거쳐 결국 컴퓨터의 발전으로까지 이어진다는 놀라운 사실도 이야기한다.
이처럼 이 책은 갖가지 흥미로운 실험과 놀이를 통해 수학은 머리로만 하는 것이 아님을 보여주고, 실생활 곳곳에 수학이 살아 숨쉬고 있다는 사실도 계속해서 확인시켜준다. 아울러 논리곱과 컴퓨터에서 보듯이 언뜻 대수롭지 않아 보이는 간단한 수학적 원리가 얼마나 인간의 삶을 바꿔놓을 수 있는지도 알려준다. 이는 수의 세계에서 마주치는 놀라운 발견들의 아주 일부에 지나지 않는다.
《놀라운 수의 세계》의 미덕은 실생활에서 찾아낸 실제 사례를 통해 따분할 수 있는 수학 개념들을 알기 쉽게 전달한다는 점뿐만 아니라, 무엇보다 ‘수학하는 즐거움’(이를테면 ‘발견의 기쁨’)을 일깨워준다는 데 있다. 어쩌면 그 ‘수학하는 즐거움’이 이 책에서 전하고자 하는 가장 중요한 수학의 원리라고도 할 수 있을 것이다.