인생은 어렵고 수학은 쉽다

이게 무슨 소리인가? 수학이 얼마나 어려운데 수학이 쉽다니. 그러나 인생에 비하면 수학은 정말 쉽다. 수학은 모든 것이 논리로 통하는 세계이기 때문이다. 이 세상은 논리적으로 돌아가는 게 전혀 없어 보이는데 수학은 모든 것이 논리적으로 돌아가고, 논리가 없으면 수학이 아니다.

이 책에서는 수학을 이렇게 정의한다.
“수학은 논리 법칙을 사용하여 논리 법칙을 따르는 모든 것을 연구하는 것이다.”
그래서 논리적이지 않은 것은 연구하지 않는다. 얼마나 간단한가?
수학은 또 논리가 통하지 않는 세계를 ‘추상’을 사용하여 논리 있게 만든다.

한 아이에게 질문한다고 생각해보자.
“왼손에 사과 두 개, 오른손에 초콜릿 두 개가 있어요. 모두 합하면 몇 개지요?”
아이는 대답한다. “두 개요. 초콜릿은 제가 벌써 먹어버렸거든요.”
수학은 여기에서 필요하지 않은 사실들을 제거하여 추상함으로써 세상을 논리 있게 만든다.
이 문제에서는 사과도 필요 없고, 초콜릿도 필요 없고, 아이도 필요 없다.
우리에게 필요한 것은 두 개와 두 개를 합하면 어떤 결과가 나오느냐 하는 것이다. 추상을 통해 기호로 바꾸면 이것이다.
2+2=4

아주 간단하다.
이 책에서 말하고자 하는 수학은 말 그대로 쉽다는 것이다. 게다가 요리에 비유까지 하며 더더욱 간단하게 수학의 개념을 말해준다.

그래도 복잡한 수학

원래 수학은 이렇게 쉬운 것이었으나 수학도 점점 발달하다 보니 여러 분류로 나뉘고 복잡하게 변했다. 이 수학과 저 수학이 다 다른 말을 하고 있는 것 같다. 하지만 모든 수학은 논리를 사용하기에 서로 통하는 길이 있다.

서로 비슷한 성질의 수학을 연결해서 반대쪽으로 통하는 길만 뚫어 놓으면 대부분의 문제가 해결되지 않을까? 이렇게 수, 집합, 수식, 함수 등을 범주(카테고리)로 만들어서 수학을 더욱 쉽게 만들려는 노력으로 탄생한 것이 카테고리 이론(범주론)이다.

가장 유명한 비유로 도넛과 손잡이가 있는 물컵의 비유가 있다. 찰흙으로 도넛을 만들었다고 가정해보자. 이 도넛을 가지고 손잡이가 있는 물컵을 만들어보자. 도넛의 가운데 구멍은 손잡이가 되고, 나머지 부분을 몰아서 오목하게 만들면 물컵이 된다.
그러므로 도넛과 물컵은 같다. 도넛에서 통하는 수학이라면 물컵에서도 통한다. 그러나 도넛에서 통하는 수학은 식빵에서는 통하지 않는다. 식빵은 구멍이 없다. 도넛을 식빵처럼 만들려면 공간을 메워야 한다. 그러면 같은 법칙이 통하지 않는다.
카테고리 이론은 범주를 구분함으로써 수학을 편하게 만든다.

이 책에서는 카테고리 이론의 고차원 영역까지 탐구하지는 않는다. 다만 왜 카테고리 이론이 무엇을 하기 위한 것인지를 알려줄 뿐이다. 그래서 궁극적으로 우리는 수학을 가지고 무엇을 하면 좋을지를 깨닫게 된다.