기하학은 선, 모양, 공간을 논하며, 이들 간의 관계를 다루는 수학의 한 분야이다. 정착 사회에서는 소유와 과세를 위해 자원을 정확하게 분배해야 할 필요가 있었고, 이러한 문제들을 해결하기 위해 전 세계 다양한 문화권에서 기하학의 원리가 독자적으로 발견되었다.
--- Chapter 03 기하학의 시작 중에서

대수학의 기원은 고대 이집트와 바빌로니아의 수학으로 거슬러 올라간다. 하지만 대수학이 번성할 수 있게 한 것은 중세 아라비아 수학자인 무하마드 이븐 무사 알 콰리즈미가 쓴 책이었
다. 이후 르네상스 시대의 수학자들이 삼차방정식의 해법을 발견하고 데카르트가 대수학과
기하학을 연계하려고 노력하면서 대수학이 더 발전되었다.
--- Chapter 07 대수학, 미지수를 해결하다 중에서

다른 도박사들과 마찬가지로 카르다노 역시 도박에서 이길 확률을 높이는 방법을 찾는 데 관심이 많았다. 카르다노는 이 문제에 대한 해법을 연구하면서 우연한 사건에 수치를 부여하는 방법을 모색하였고 처음으로 확률을 과학적으로 분석하게 되었다. 이 혁명적인 발상은 확률 이론으로 이어졌고, 이것이 나중에 통계학으로 발전되었다. 카르다노의 발상이 아니었다면 지금의 보험산업과 일기 예보 같은 분야가 발전하는 것은 불가능했을 것이다.
--- Chapter 09 확률, 가능성은 얼마인가? 중에서

그 이전까지 수학은 수와 도형이라는 뚜렷이 다른 두 가지 갈래로 나뉘어져 있었다. 데카르트는 대수학이 기하학으로 표현될 수 있고 그 반대의 경우도 가능하므로 기하 도형이 수 체계에 통합될 수 있다고 통찰했다. 이것은 수학적 도구에 강력한 해법을 새로 추가한 해석 기하학의 시초가 되었다. 이후 데카르트의 발상은 거리와 각도를 사용하여 점의 위치를 설명하는 극좌표의 공식화로 이어진다. 자코브 베르누이가 창안한 극좌표는 궁극적으로 수학 역사에서 가장 중요한 발견 중 하나인 미적분학의 발전을 가져온다.
--- Chapter 11 기하학, 좌표와 만나다 중에서

1670년대 미적분학의 발견(혹은 발명)은 수학사를 바꾼 획기적인 사건이었다. 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠는 독립적으로 미적분학을 창안했으며 격렬한 표절 논쟁을 벌였다. 누가 그 공로를 차지하든지 간에 미적분학은 가장 위대한 수학적 발견 중 하나이다. 미적분학은 많은 과학 분야에서 여러 번 제기된 문제였던 끊임없이 변화하는 양을 이해해야 할 필요성에서 창안되었다. 미적분학은 그리스인의 정적인 기하학에서 근본적으로 벗어난 것으로, 미적분학의 발견은 과학자들이 일정한 흐름 속에 있는 우주를 이해하는 시발점이 되었다.
--- Chapter 12 미적분학, 과학적 혁명 중에서

20세기 중반까지 정수론은 수학에서 가장 순수한 분야로 간주되었으며 실제 현실세계에는 적용할 수 없는 것으로 여겨졌다. 하지만 디지털 컴퓨터와 통신이 등장하면서 정부와 기업에서 사용하는 강력한 암호화 체계를 설계하는 데 정수론이 핵심적인 요소가 되었으며, 실제로 현실적인 문제를 해결하는 데 중요한 역할을 한다는 사실이 분명해졌다.
--- Chapter 14 정수론 중에서

다비트 힐베르트는 임의의 수학 문제에 알고리즘을 적용해 증명 없이도 그 문제가 참인지 거짓인지를 판별할 수 있을지 알고 싶어 했다. 힐베르트는 산술 체계의 바탕이 되는 기본 논리를 사용하여 궁극적인 수학 이론을 고안할 수 있을지 궁금했다. 수학 문제에 대한 힐베르트 문제를 풀기 위해, 앨런 튜링은 가상의 기계를 고안했으며 그것이 불가능하다는 것을 증명했다. 이후 튜링기계로 알려진 이 이론상의 기계는 컴퓨터 과학이 확립되는 데 중대한 역할을 했다.