제1장은 미적분학과 선형대수학의 핵심적인 내용들을 이 책의 체계로 정리하였다. 제2장은 기초 미적분학에서처럼 공간에 놓인 곡선을 연구하기 위하여 도입한 움직이는 틀을 이용한 방법을 기술하였다.(이 방법은 곡면에서도 효율적임이 입증되었다.) 제3장에서는 평면에서 삼각형의 합동의 정의와 마찬가지로 공간에 놓인 곡선의 합동을 공간에서의 강체 운동으로 정의하여 연구하였다.

제4장은 특별한 설명이 필요하다. 고전적인 미분기하학의 주요 약점은 곡면에 관한 정의가 적절하지 않았다는 것이다. 이 장에서는 곡면이 무엇인가를 정확히 결정하고, 각 곡면은 평면에서 정의되었던 친숙한 미분 적분과 비슷하게 자체의 미분 적분을 가지고 있음을 보일 것이다. 이는 미분 다양체의 개념을 소개하는 것으로서 이 분야의 기초적인 내용임과 동시에 미분 적분학으로부터의 응용이다.

제5장과 제6장은 3차원 공간에 놓인 곡면의 기하학에 관하여 할애하였다. 제5장에서는 곡면의 형태를 측정하고, 가우스 곡률로 유명한 기초적인 기하 불변량을 이끌어내었다. 이 직관적이고, 계산적인 측면은 제6장의 이론에 의하여 기하학적인 의미를 부여하게 될 것이다.

마지막 두 장에서는 방법은 바뀌지 않았지만, 관점이 완전히 바뀌었다. 개략적으로 말하면, 보통의 3차원 공간에서 곡면이 발견될 수 있다는 가정 없이, 곡면에서 살고있는 사람의 입장에서 곡면의 기하학을 연구할 것이다. 제7장에서는 곡률에 중점을 두면서 가우스 보닛 정리와 그의 기하학적 위상적 결과를 서술하는 것으로 일단락 지었다. 제8장에서는 측지선의 국소적 대역적 성질을 연구하였다. 이로부터 덮개 공간의 개념과 함께 상수 곡률을 갖는 곡면을 알기 쉽게 조망하고, 양의 곡률을 갖는 곡면과 양이 아닌 곡률을 갖는 곡면에 관한 보네-아다마르 정리를 유도해 내었다.