물물교환을 할 때는 양을 한 마리마다 따로 지불해야 한다. 예를 들어 담배 두 꾸러미와 양 한 마리를 바꾼다고 하자. 이때 다마라 사람은 양 두 마리를 주고 담배 네 꾸러미를 받는다는 계산에 혼란스러워했다. 내가 경험한 바에 따르면, 그는 먼저 받은 담배 두 꾸러미를 옆에 두고 자기가 팔려고 하는 양 한 마리를 바라보았다. 첫 번째 양에 대해 값을 제대로 받았다는 생각에 흡족했지만, 그는 다른 양에 대한 대가인 담배 두 꾸러미가 또 있는 것을 보고 놀랐고, 수많은 의심으로 혼란스러워했다. 그는 이 거래를 잘 이해하지 못하는 것 같았다. 그는 첫 번째의 담배 두 꾸러미를 보더니 훨씬 더 큰 혼란에 빠져서, 이 양과 저 양을 번갈아 쳐다보았다. 그는 거래를 관두려고 했다. 결국 담배 두 꾸러미를 그의 손에 쥐여주고 양 한 마리를 데려오고, 교환한 것들을 그가 보지 못하는 곳으로 치워둔 다음에 다시 담배 두 꾸러미를 주고 두 번째 양을 데려오면서 거래가 성사되었다.
--- pp. 35~36 「2장. 손가락과 발가락」에 인용된 프랜시스 골턴의 서술 재인용

바로 뒤의 것이라는 생각은 우리 정신 속에 들어 있는 자연스러운 개념인 듯하다. 어떤 의미에서 이것은 시간의 화살이 존재한다는 것의, 또 원인과 결과라는 순서를 겪어본 경험의 결과인 듯하다. 우리는 미래를 과거와 분리하고, 미래는 원인과 결과가 이어지면서 앞으로 나아간다. 테드 창의 단편소설 〈당신 인생의 이야기〉와 드니 빌뇌브 감독이 2016년에 영화로 만든 〈컨택트〉에서는 이러한 개념과 흥미롭게 대조되는 관점을 볼 수 있다. ...
이 영화는 정신의 작동과 그 붙박이 배선이 우리가 세계를 받아들이는 방식을 어떻게 결정하는지, 셈과 같은 정신적 과정들이 우리의 사고와 어떻게 연결되는지를 생각하게 만든다는 점에서 중요하다.
산술이 어떻게 엄밀하고 논리적으로 건전한 기술을 제공하는지에 대한 질문은 여러 가지 이유로 중요하다. 이 질문은 수와 셈에 대한 우리의 생각을 바꾼다. 수와 셈은 단지 계란이나 동전을 세는 유용한 수단이 아니다. 수와 셈은, 그것이 세는 물건들을 벗어나서 순전히 규칙으로만 정의되는 논리 체계로 존재한다. 하나와 둘만 세는 원시적인 체계에서는 없던 그 무엇이 나타나는 것이다. 규칙을 바꾸면 새로운 수학 체계를 만들 수 있고, 이러한 수학 체계는 세계에 있는 어떤 것과도 대응되지 않을 수 있다. 중요한 것은 그 규칙들이 일관되고 1=2와 같은 모순이 생기지 않는다는 것이다.
--- pp. 77~80 「4장. 수의 정의」 중에서

그러므로 마침내 1+1=2이다. 저자들은 1+1=2를 이렇게 공들여 증명한 다음에, 절제된 표현으로 이 결과가 ‘가끔 유용하다’고 덧붙였다! 이것은 쉽지 않은 주제이지만, 더 살펴보지는 않을 것이다. 러셀은 이 연구가 너무 힘들어서 정신적인 압박감을 느꼈다. 그 후 화이트헤드도 러셀도 수학의 기초에 대한 주제를 다시는 자세히 연구하지 않았다.
--- pp. 108~109 「6장. 화이트헤드와 러셀의 1+1=2 증명」 중에서

대부분의 수학자들은 칸토어의 연구에 공감하지 않았지만, 가톨릭 교회의 영향력 있는 독일 성직자이자 철학자, 신학자였던 콘스탄틴 구트베를레트는 이 연구를 신이 보낸 선물로 여겼다. 그러나 어떤 신학자들은 칸토어가 또 다른 형태의 범신론을 만들었다고 비난했다. 그러나 칸토어 덕분에 여러 가지 무한에 대해 논의할 수 있게 되었고, 신의 무한이 칸토어의 탑 꼭대기에 절대적인 무한으로 군림할 수 있게 되었다. 또 여러 무한이라는 개념은 수학뿐만 아니라 다른 분야에서도 신성모독이라는 혐의에서 벗어나 자유롭게 무한을 연구할 수 있게 만들었다. 게다가 그의 연구는 이러한 궁극적인 신의 무한을 인간 정신이 파악할 수 있음을 보여주었다. 칸토어는 신의 모든 불변하는 생각은 완전한 무한이어야 하며, 이것이 바로 더 높은 무한들이 존재하는 증거라고 주장하기까지 했다.
--- pp. 132~133 「7장. 초한 산술」 중에서

괴델은 아무리 호의적으로 따져봐도 이상한 사람이었다. 시인 존 드라이든이 1861년에 썼듯이, “위대한 지성과 광기는 매우 가깝다. 둘을 나누는 벽은 매우 얇다.”
내가 괴델과 같은 시기에 프린스턴 고등연구소에 상주했던 학자들에게 괴델을 아는지 물어보면, 그들은 언제나 똑같이 대답했다. “괴델을 아는 사람은 아무도 없습니다.” 한 유명한 물리학자가 아주 젊었을 때 처음으로 고등연구소에 갔던 경험을 이야기해준 적이 있다. 그는 불완전성 정리와 양자역학과 관련된 주제를 괴델과 토론하고 싶었다. 그는 구내전화로 괴델에게 연락했는데, 교환원이 괴델을 직접 연결해주어서 기분이 좋으면서도 깜짝 놀랐다. 괴델에게는 접근하는 사람들을 막아줄 비서나 조수가 없었던 것이다. 괴델은 사무실에 방문할 시간을 잡아주었다. 이 젊은 물리학자는 괴델을 만난다는 생각에 굉장히 들떴지만, 약속 시간에 도착해보니 아무도 없었다. 그는 괴델에게 다른 중요한 일이 생겼을 것으로 짐작했다. 다음 날에 연구소에 처음 온 사람들을 환영하는 다과회에 갔더니, 괴델이 한쪽 구석에 혼자 앉아 있었다. 그는 괴델에게 다가가 자기소개를 하고 나서, 약속 시간에 그의 사무실에 갔지만 만나지 못했고, 괴델이 다른 중요한 일이 생겨서 자리를 비웠을 것이라고 생각했다고 말했다. 괴델은 이렇게 대답했다. “그 반대입니다. 내가 누군가를 만나지 않을 유일한 방법은 약속을 하는 것이지요.”
--- pp. 148~148 「8장. 괴델의 불완전성」 중에서

놀랍게도, 많은 경우에 우리는 주변 세계를 이해하는 과제를 아주 잘 수행한다. 우리의 정신은 많은(그러나 전부는 아닌) 측면에서 우리가 대처할 수 있는 복잡성을 가진 환경 속에서 진화했다. 우리는 패턴에 민감하며, 본능적으로 패턴을 찾아낸다. 그러한 능력이 생존에 도움이 되기 때문이다. 패턴에 대한 우리의 감수성을 외부로 꺼내어 구체적이면서도 추상적인 수학의 세계로 내보내는 것, 그리고 패턴 연구, 수학 연구, 궁극적으로 자연법칙의 연구는 그저 1+1=2를 사색하면서부터 시작되었다. 그리고 이 탐구는 끝없이 계속된다.

<b>우주론을 연구하던 수학자이자 케임브리지대학 교수였던 존 배로가<br/>생애 마지막으로 남긴 가장 단순하고도 심오한 질문<br/></b><br/>“그건 1 더하기 1이 2인 것처럼 확실해.” 이런 말을 들어보았을 것이다. 이처럼 1+1=2는 ‘확실하고 뻔한 것’의 대명사처럼 쓰이는 말이자, 우리가 수학을 배울 때 처음 마주치는 가장 단순한 수식이기도 하다. 하지만 여기 정말 1 더하기 1이 2인지를 생의 마지막 탐구 주제로 삼은 수학자가 있다.<br/><br/>존 배로는 영국의 수학자, 이론물리학자, 우주론 학자로 케임브리지 대학교의 응용수학 및 이론물리학 교수이자 수학의 대중화를 위한 밀레니엄 수학 프로젝트의 책임자였다. 그는 우주론 연구로 학자로서의 여정을 시작했는데, 이것이 이후에 그가 수학자로 살면서도 존재의 근본에 관한 철학적 탐구를 이어가는 데에 영향을 주었다. 이에 관해 김민형 교수는 이렇게 말하기도 했다. “물리학자에게 수학적 구조의 정체성 문제는 좋든 싫든 집요하게 다가온다. 그래서 ‘우주란 무엇인가’라는 질문으로부터 출발한 저자는 자연스럽게 ‘수학이란 무엇인가’를 묻다가 시간이 지나면서 결국 ‘1 더하기 1은 어째서 2인가’로 탐구가 귀결되었다는 인상이 책의 구성에 전체적으로 스며들어 있다.” 그렇다면 저자는 정말이지 왜 이런 책을 쓰게 된 것인지, 직접 그의 목소리를 통해 들어보자.<br/><br/>“여러분이 지금 읽으려는 책은 제가 마지막으로 쓴 책이고, 저는 이제 더 이상은 쓰지 못할 것 같습니다. 이 책에서 저는 수에 대해 중요한 몇 가지를 말하려고 합니다. 많은 사람들은 1+1=2와 같은 연산이 너무나 단순해서 특별히 주의를 기울일 이유가 없다고 생각합니다. 하지만 우리는 이 기초적인 연산의 복잡한 면을 탐구하려고 합니다. 우리는 서로 다른 사물을 더할 때 생기는 미묘한 난점에 대해 알아볼 것입니다. 이 문제를 다룬 19세기와 20세기의 가장 위대한 수학자들에 대해서도 살펴볼 것이며, 그들이 이 문제를 풀고 덧셈을 명료하게 이해하기 위해 어떤 생각을 했는지도 알아보겠습니다. 무한에 대해서도 알아보고, 무한을 더하는 법을 배워보며, 무한이 수학의 대상으로 적합한지에 대한 논쟁도 살펴볼 것입니다. 괴델의 유명한 불완전성 정리를 공부하고, 마지막으로 수학이란 도대체 무엇인지에 대한 격렬한 논쟁에 대해서도 알아보겠습니다.”_14~15쪽, 〈서문〉 중에서<br/><br/><b>우리가 딛고 선 수학 체계의 주춧돌, ‘1+1=2’<br/>수학이란 무엇인가, 그리고 수학이 던지는 존재의 수수께끼</b><br/><br/>1+1=2라는 수식은 간단하고 기본적인 만큼 수학에 대해 근본적인 의문을 제기할 수 있는 매개가 되기도 한다. 얇지만 단단한 이 책에서 그는 열 개의 장에 걸쳐 그러한 문제 제기가 어떻게 가능한지를 역사적·물리적·순수수학적인 사례와 더불어 하나하나 보여준다. 몇 가지 질문을 살펴보자.<br/><br/>“배 하나 더하기 사과 하나는 무엇일까? 이것은 배 두 개나 사과 두 개가 아니다. 기호 ‘+’와 ‘=’는 무엇인가? 이것들은 진짜로 무슨 뜻일까? 똑같은 파동 둘을 더하는데 둘의 위상이 정반대이면, 파동 하나의 마루가 다른 파동의 골과 일치해서 영이 된다. 파동 두 개가 되지 않는 것이다. 영에 영을 더하면 영이 둘이고, 이것은 영이다. 무한에 무한을 더하면 무한이 된다. 이것들의 합은 하나에 하나를 더해서 같은 것이 둘이 되는 패턴을 따르지 않는다. 사물은 의외로 단순하지 않다.”(21~22쪽, 〈1장. 1+1은 진짜로 어려울까?〉 중에서)<br/><br/>이 책이 1+1=2와 같은 연산에 집중하는 이유는 수학이 ‘추상화’라는 과정으로부터 시작된 학문이기 때문일 것이다. 사과 하나, 파동 하나, 0 하나 등 세상의 모든 하나는 1이라는 수로 환원되는데, 이 환원에 바탕을 두고 있는 덧셈이라는 연산이 과연 모든 사물에 보편적으로 적용할 수 있을 만큼 타당한가 하는 것이다. 이것은 지금의 수학 체계를 떠받치고 있는 주춧돌에 관한 의문이기에, 많은 것을 무너뜨릴 수 있는 강력한 질문이기도 하다.<br/><br/>예를 들어 1과 -1을 번갈아가며 무한하게 더하는 수식 S가 있다고 하자. 그리고 양변에 각각 같은 식을 더해보자. 그러면 2S=1-1+1-1+1-1…=S가 된다. 그렇다면 2S=S이므로 2=1이 된다(27쪽). 공리 체계에서 논리적 모순이 하나라도 있으면 그것을 사용해서 모든 것이 참이라고 증명할 수 있기 때문에 모든 산술이 무너져버린다. 이를 보여주는 재미있는 사례가 있다.<br/><br/>수학자이자 철학자였던 버트런드 러셀은 강연에서 2=1이 참이라면 모든 것이 참이라고 증명할 수 있다고 말했는데, 한 학생은 이를 수긍하지 못해 그렇다면 러셀 자신이 교황임을 증명해보라고 했다. 러셀은 주저하지 않고 이렇게 대답했다. “나와 교황만 포함하는 집합이 있다고 하자. 이 집합의 원소는 둘이다. 그러나 2=1이므로, 이 집합의 원소는 하나뿐이다. 따라서 나는 교황이다.”(28쪽) 뭔가 이상하지만, 어떻게 반박해야 할지 모르겠다. 그렇다면 이 책을 찬찬히 읽어보자. 이 책은 어렵지 않은 수식들과 함께 우리가 흔히 자연수의 공리화, 수학의 집합론적 모델, 화이트헤드와 러셀의 기초론, 무한대의 산술 이론, 괴델의 불완전성 정리, 뉴컴-벤포드의 법칙 등으로 불리는 개념을 설명해내면서 가장 단순한 수식을 통해 갈 수 있는 가장 먼 수학적 사유까지 우리를 데려간다.<br/><br/><b>평생 수학을 연구한 친구와 나누는 대화 같은 책<br/>‘1+1=2’라는 실타래를 들고 걸어가 미로 속에서 만나게 되는 것</b><br/><br/>수학이 우리를 가장 곤란스럽게 만드는 지점은 어디일까? 정규 교육 과정을 거쳐온 대다수의 한국인에게 그것은 아마도 수학이 왜 필요한지 모르겠다는 점일 것이다. 2020년 8월 미국의 한 고등학생이 틱톡에 ‘수학이 진짜라는 것을 어떻게 알 수 있는가, 사칙연산 외에 수학적 개념들이 왜 필요하며 누가 생각해냈는가’라고 묻는 영상을 올렸다. 여기에는 “지금껏 본 것 중 가장 멍청한 영상”이라는 등 수없는 비난과 조롱이 쏟아졌으나, 수학자 유지니아 쳉, 조던 엘렌버그, 물리학자 숀 캐럴 등 유수의 학자들은 이것이 “매우 훌륭한 질문”이며, 학생이 “수학자보다 더 수학적으로 생각한다”며 답변과 격려를 보낸 사건이 있었다.<br/><br/>수학을 잘한다는 것은 복잡한 방적식을 쉽게 풀어내고 공식이나 법칙을 빠르게 기억해내서 기술적으로 잘 활용한다는 말도 되겠지만, 수와 기호들의 의미가 무엇이며 인간이 이 언어를 사용하여 무엇을 하려고 했고 무엇을 할 수 있는지를 잘 이해하고 있다는 뜻이기도 하다. 이 책은 후자의 의미에서 수학을 잘하도록 돕는 책이다. 미국의 고등학생도 이런 맥락에서 “수학자보다 더 수학적으로 생각한다”라는 말을 들었을 것이다.<br/><br/>“‘수학이란 무엇인가’라는 질문은 이 책 마지막 장의 제목이고, 책 전체의 핵심 주제이기도 하다. 이 너무나 어려운 질문의 답에 접근하기 위해서 저자는 책 전체를 통해 수학철학 개론을 전반적으로 그리고 독창적으로 설명해나간다.”(김민형, 〈감수의 말〉 중에서)<br/><br/>저자는 수학 내부에서뿐만 아니라 수학 외부를 포함하여 수학을 사유한 사람이었다. 이 책이 다른 수학책에 비해 다소 물리적일 뿐만 아니라 철학적이고 종교적이라고까지 할 수 있다면, 바로 이런 저자의 위치와 관점 때문일 것이다. 그래서 이 책은 스스로 수학과 멀다고 생각하는 사람이라도, 아니 그런 사람이 오히려 재미있게 읽을 수 있는 책이다. 따뜻한 차를 한 잔 옆에 두고 종종 창밖을 바라보며 시집 읽듯 이 책을 읽기를 권한다. 평생 학술 논문만 500편 이상을 쓰고 과학 대중서를 20여 권 집필한 대가와 마주 앉아 담소를 나누는 듯한 느낌을 주는 독서일 것이다. 이 얇은 책에 한 대가의 평생에 걸쳐 이루어진 탐구가 오롯이 녹아 있다면 믿기 어려울 수도 있겠지만, 오히려 마지막이기에 더 압축적으로 쓸 수밖에 없었는지도 모른다.<br/><br/>이 책에서는 단순한 수식과 작은 수가 중요한 주제이지만 이는 그것과만 관련된 책이 아니며, 오히려 이 책에 나오는 무한 간의 산술같이 무한 너머의 무한을 보여주는 거대한 책이다. 우리는 아리아드네의 실타래를 든 테세우스처럼 1+1=2라는 수식을 통해 수학이란 도대체 무엇인지를 묻는 크고 깊은 미로로 용감하게 들어갈 수 있다. 그리고 그곳에서 우리는 미노타우로스가 아니라 미로 그 자체를 비로소 만나게 된다.

“‘수학이란 무엇인가’라는 질문은 이 책 마지막 장의 제목이고, 책 전체의 핵심 주제이기도 하다. 이 너무나 어려운 질문의 답에 접근하기 위해서 저자는 책 전체를 통해 수학철학 개론을 전반적으로 그리고 독창적으로 설명해나간다. 그 과정에서 그는 자연수의 공리화, 수학의 집합론적 모델, 화이트헤드와 러셀의 기초론, 무한대의 산술 이론, 괴델의 불완전성 정리 등 수학적 실존의 현대 탐구사를 개괄적으로 돌아본다. 처음부터 끝까지 진지한 사색과 되새김을 강권하면서 스스로 사고하고 공부할 마음가짐이 있는 독자로 하여금 우주 과학자가 생각하는 수학 세계의 기반을 경험하게 만든다.”

“가장 단순한 수식을 읽는 탁월한 방법을 보여준다. 과학과 수학뿐 아니라, 철학과 종교의 영역까지 우리를 끌고 들어간다. 진주를 담은 보석상자 같은 책이다.”

“이 책은 마치 친구와 수를 주제로 나누는 긴 대화 같다. 그 친구는 자신이 평생 고민해왔던 주제인 수학을 한다는 것이나 세계를 규정하는 수학적 법칙을 탐구하는 것의 의미에 대해 이야기한다. 언제 어떻게 1 더하기 1이 2가 되거나 되지 않는지를 아는 것은 매우 가치 있는 일이다.”