품목정보
발행일	2011년 12월 21일
쪽수, 무게, 크기	216쪽 \| 285g \| 14019850mm
ISBN13	9788960511903
ISBN10	8960511900

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저자 : 후카가와 야스히사(深川和久)

1952년 일본 아와지에서 태어났다. 교토대 이학부 수학과와 문학부 사회학과를 졸업했으며 동 대학 대학원에서 사회학 연구 석사 과정을 수료했다. 지은 책으로는 『두뇌의 수적 재구축』『퀴즈로 이해하는 중학 수학』『퀴즈로 이해하는 고교 수학』『방정식에 의존하지 않기』 등이 있다.

역자 : 전선영

한국외대 일본어과를 졸업하고 현재 출판 전문 번역가로 활동 중이다. 옮긴 책으로 『우리 학교가 달라졌어요』『일상생활 속에 숨어 있는 수학』『바보는 항상 1등의 룰만 따른다』 등이 있다.

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1의 눈이 10번이나 연속해서 나오는 '특별한' 경우나 아무런 특징 없는 '평범한' 경우나 확률은 결국 똑같다. 이 결론을 아무래도 납득하지 못하는 사람이 많을 것이다. 오히려 이 결론과 반대로 주사위 눈이 특별하게 나오는 장면은 좀처럼 보지 못했지만 평범하게 나오는 장면은 늘 보았다는 쪽이 자연스럽다.
그러면 어째서 이러한 생각이 자연스럽게 느껴질까? 여기에는 심리적인 요인이 크게 작용한다. 여기서 말하는 심리적인 요인이란 사물을 '특별한 것'과 '평범한 것'이라는 2가지 범주로 나누는 메커니즘을 뜻한다. 일반적으로 사람은 무언가 규칙성을 찾아낸 사물이나 사건을 '특별한 것'으로 여기고, 그렇지 않은 것과 구별하려는 경향이 있다. 이때 구별한 '특별한 것'과 '특별하지 않은 것'이라는 2가지는 언어 수준에서는 크기가 같다고 느낄 수도 있다. 그러나 실제로는 '특별한 것'이라고 생각하는 사물이나 사건의 수는 그리 많지 않은 반면, '특별하지 않은 것'의 수는 압도적으로 많다.
하나하나의 사건이 일어날 확률이 모두 똑같고 매우 작다 하더라도 '특별한 것'과 '그렇지 않은 것'이라는 틀에서 생각하면 극히 소수인 '특별한 일'이 일어날 확률은 여전히 작은 데 반해 압도적으로 다수인 '그렇지 않은 일'이 일어날 확률은 커진다. 따라서 '특별한' 눈이 나올 확률과 '평범한'눈이 나올 확률이 같다는 결론을 납득하지 못하는 이유는 다음의 두 가지를 혼동하기 때문이다.
- 하나하나의 눈이 나올 확률
- '특별한 것'과 '그렇지 않은 것'이라는 2개의 틀로 나누어 생각할 때의 확률 --- pp.82-83

'기댓값'은 의외로 모르는 사람이 많을 수 있다. '기대의 값'이라고 해도 무슨 말인지 이해하기 어렵기 때문일 것이다. 방금 말했듯이 '기댓값'이란 바로 '기대의 값'이다. 더 자세히 말하자면 '기대할 수 있는 값'을 가리킨다.
예를 들어 '주사위를 던졌을 때 나오는 눈의 기댓값은 3.5이다.'라는 말은 '주사위를 던졌을 때 기대할 수 있는 눈의 수는 3.5이다.'라는 의미다. '100원에 산 이 제비의 상금 기댓값은 60원이다'라는 말은 '100원에 산 제비로 60원의 상금을 기대할 수 있다.'라는 뜻이다.
그런데 '기대할 수 있는 눈의 수는 3.5'라든가 '기대할 수 있는 상금은 60원'이라는 말 역시 무슨 뜻인지 금세 이해하기 어렵다. 이 말을 좀 더 알기 쉬운 표현으로 바꾸면 '나오는 눈의 수의 평균은 3.5이다', '상금은 평균은 60원이다'가 된다. 이처럼 '기댓값'은 '평균'이라는 말을 써서 좀 더 알기 쉽게 바꿀 수 있다. '기댓값'이라는 말은 낯설더라도 '평균'이라는 말은 자주 쓰는 데다 뜻도 알고 있다. 기댓값이란 바로 '평균'을 뜻한다.
그러면 왜 평균이라는 말 대신 기댓값이라는 다소 어려운 말을 쓰는 걸까? '평균'이라고 하면 눈앞에 있는 데이터를 더하거나 나누거나 해서 계산하는 것을 떠올리기 쉽다. 확률은 앞으로 어떻게 굴러 갈지 알 수 없으므로 확률에 평균이라는 말은 걸맞지 않은 것이다. 어쨌든 지금은 '기댓값 = 평균'이라는 관계를 머릿속에 넣어 두기만 해도 충분하다. --- pp.162-163

여기서 확률의 특징을 간단히 정리해 보자.
① 확률은 어떤 사건이 일어나는 모든 경우를 알고 있다는 것을 전제로 한다.
② 일어날 수 있는 일의 모든 경우의 수를 세는 것이 확률을 계산하는 첫걸음이다. 경우의 수를 셀 때는 다음을 조심해야 한다.
- 빠뜨리거나 중복해서 세는 일이 없도록 주의한다.
빠뜨리거나 중복해서 세면 '전체 경우의 수'가 틀리므로 계산한 확률의 의미가 없게 된다. 정확하게 세려면'수형도(나뭇가지 모양의 그림)'나 표를 쓰는 것이 좋다.
- 필요 없는 것까지 세지 않도록 주의한다.
동전을 던졌을 때 '동전이 수직으로 서는' 경우 따위는 셀 필요가 없다.
③ 모든 경우의 수를 셀 때 각각의 경우가 평등하게 일어난다는 가정하에 세어야 한다. 달리 표현하면 각각의 일이 일어날 확률은 같다는 뜻이다.

--- p.41

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개념을 확실히 잡아 주는 친절한 수학책 수학은 암기 과목이 아니다. 그럼에도 공식을 외고 문제를 더 많이 푸는 기계적인 방식으로 수학 성적을 올리는 데 가르치는 쪽과 배우는 쪽 모두가 혈안이 되어 있다. 기본 개념이 정립되어 있지 않은 상태에서는 공식의 암기나 심화 문제 풀이에 한계가 있음은 누구나 알고 있다. 그러나 짧은 시간에 교과 과정과 수능 시험이 요구하는 수준의 진도를 나가야 한다는 부담감에 조급함이 앞서는 것이다. 수학 수업은 물론이고 각종 문제집과 학습서마저도 상위권 학생들에 맞춰 나오다 보니, 거기에서 뒤처지는 학생들은 결국에는 이른바 '수포자'(수학 포기자)의 길을 걷게 된다. '국포자', '영포자', '과포자' 등의 비슷한 조어들에 비해 '수포자'가 더 널리 쓰이는 것은, 그만큼 난이도가 높고 한번 진도의 흐름을 놓치면 따라잡기가 도통 쉽지 않은 수학 과목의 특성이 반영되어 있다. 이처럼 학교나 학원의 수업 진도를 따라가기 버거운 학생들, 또 중학교 수학 과정을 마치고 고등학교의 심화된 수학을 준비하고 있는 예비 고등학생들에게는 수학의 기본 개념을 찬찬히, 그러면서도 확실히 다져 주는 '개념 중심의 수학책'이 필요하다. 『개념부터 다시 시작하는 Reset! 수학』 시리즈는 이러한 수학의 '개념'에 모든 것을 바쳤다. "개념과 원리를 알려 준다"는 책들이 대부분 기존의 문제집에 개념과 원리 부분을 강화하는 수준인 데 비해, 이 시리즈는 말 그대로 '개념만' 중점적으로 파고든다. 많은 문제를 풀게 함으로써 개념을 이해시키는 것이 아니라 '사고하는 방법'에 초점을 맞춰 이야기보따리를 풀어 놓는 것이다. 즉 '문제를 푸는' 수학책이 아니라 '보고 읽으며 이해하는' 수학책이라 할 수 있다. 간간이 문제가 등장하기는 해도 개념 이해를 돕기 위해 기초적인 수준에서 고안된 것일 뿐, 현재의 고등학생들이 수시로 치르는 시험 문제와 같은 난이도는 전혀 아니다. 이 시리즈의 저자 역시 책에 등장하는 수식 중에 혹시 이해하기 어려운 것이 있다면 고민하지 말고 훌쩍 넘기라고 충고한다. '연습 문제 풀이' 같은 과정 없이 단순히 책을 읽는 것만으로도 '적어도 개념만큼은 확실히 잡았다'라는 결론을 내릴 수 있을 것이다. 이러한 의미에서 진정한 '수학 개념 책'이라 할 수 있다. 수학의 기초 체력 단련이 필요한 사람이 읽는 책 이러한 수학 교과의 개념을 중점적으로 다룬 책이 과연 필요할까 의문이 들 수도 있을 것이다. 수학 교과 과정에는 집합이나 방정식, 제곱근, 도형의 성질과 같이 중학교, 심지어는 초등학교에서부터 조금씩 단계적으로 배우게 되어 있는 단원들이 있다. 이러한 단원들은 고등학교 수학에 심화된 내용으로 나오더라도 학생들의 부담이 덜하다. 반면에 고등학교에 올라가서야 처음 접할 수 있는 개념들은 갑자기 높아진 난이도와 수능 시험에 나온다는 부담감에 학생들이 괴로워할 만한 단원들이다. 이 시리즈는 1권 미적분, 2권 확률과 통계, 3권 지수와 로그, 4권 허수와 복소수로 구성되어 있는데, '확률과 통계' 정도만 중학교 수학 시간에 '경우의 수' 수준의 기초적인 내용을 배울 뿐, 미적분이나 로그, 복소수 등 나머지 단원들은 모두 고등학교 과정에서 처음 접하는 분야다. 학생 개개인의 이해 수준 차이는 무시된 채 진도가 나가고 수업이 진행되는 사이 응용문제를 앞에 두고 어디서부터 손대야 하는지 모르는 학생들은 좌절할 수밖에 없다. 이들에게는 문제집을 거듭 푸는 것이 아니라, 다시 기본 개념부터 차근차근 정립하는 것만이 해법이다. 그래야 문제 의도를 파악하고 풀이 방향을 탐지하는 감각을 익힐 수 있는 것이다. 따라서 이 책은 학교와 학원의 진도를 따라가지 못하는 학생들에게 동력을 제공하고 '수포자'들에게는 다시 한 번 수학에 도전할 수 있는 기초를 마련해 줄 것이다. 또 고등학교 진학을 눈앞에 두고 있는 예비 고등학생이나 심화 수학 단원으로 넘어가는 단계에 있는 고등학교 1학년생들에게는 본 수업에 앞서 기초를 탄탄히 하는 선행 학습의 의미를 지닐 수 있을 것이다. 상위권 학생들에게는 응용문제를 푸는 중간 중간에 다시 기본 개념을 상기시켜 줄 수 있는 보조재로서 기능할 수도 있다. 또 문과 출신으로 대학에서 경제학이나 경영학을 공부해야 하는 대학 새내기들(수학 과목이 부담스러워 문과를 선택하는 경우가 많았을 이들은 파생금융상품의 일종인 옵션의 가격 결정 모델을 배우면서 고난도의 미분 방정식을 풀어야 한다), 그리고 어떤 이유에서든 고등학교 수학책을 다시 펼쳐야 하는 성인들에게도 부담스럽지 않은 난이도의 수학책으로 활용될 수 있을 것이다. 주요 내용 확률 계산은 수학책의 각종 계산식 중에 쉬운 축에 속한다. 확률의 계산식도 '?당 경우의 수/전체 경우의 수'로 간단히 표현할 수 있다. 그럼에도 꽤 많은 학생이 이 분수식과 곱셈, 덧셈 정도로 이루어지는 확률의 식을 세우기 어려워한다. 식 자체는 어렵지 않지만 경우의 수를 제대로 세거나, 두 사건이 독립적으로 시행되는지 아닌지 분간하는 것을 헷갈려 하기 때문이다. 확률이야말로 문제 풀이의 요령 터득에 앞서 '개념'이 먼저 확립되어야 하는 대표적인 단원이다. - 확률이 하는 일이 무엇이고 어디에 쓰이는가? 확률이란 앞으로 우연히 일어날 일에 어떤 규칙이 있는지 찾고자 하는 것이다. 그런데 애초에 '우연'이란 무엇인가? '우연히 일어나는 사건'을 어떻게 규정할 것인가? 확률은 그 '우연'을 어떻게 취급하는가? 우리가 경험적으로 알고 있는 확률과 수학에서 다루는 확률은 다르다. 그동안 실제로 실험한 결과를 분석해 이끌어 낸 '통계적 확률'은 현실 세계에서 축적한 과거 데이터에서 규칙이나 법칙을 찾아내지만, '수학적 확률'은 하나의 가상 세계를 설정해 일어날 수 있는 모든 가능성을 시뮬레이션하는 것이다. 따라서 수학적 확률에서는 일어날 수 있는 각 경우가 '평등하게' 일어난다고 가정한다. 예를 들어, 동전 두 개를 던져 하나는 앞면, 하나는 뒷면이 나오는 경우의 수를 셀 때는 '앞면과 뒷면', '뒷면과 앞면'이 나오는 경우를 개별적인 경우로 취급해 세어야지 겉보기에 앞면과 뒷면이 하나씩 나왔다고 동일한 경우로 세어서는 안 된다. I부에서는 이렇게 확률의 기본 전제와 취급 범위에 관한 의문을 하나하나 해결해 가면서 확률 개념의 핵심에 다가간다. - 확률에 대해 흔히 하는 오해나 착각에서 벗어나기 확률의 세계는 과거에 얽매이지 않는다. 주사위를 던져 1, 1, 1, 1, 1이 나왔다 하더라도 다음에 그 주사위를 던져 1의 눈이 나올 확률은 여전히 1/6이다. 그런데 이렇게 1이 연속으로 나오는 상황을 우연이 아닌 뭔가 '특별한' 일로 생각하게 되면 확률에 대한 착각이 일어난다. 사소한 일이나 드문 일이 몇 번 연속으로 일어나는 경우 사람들은 단순한 우연이 아니라 '뭔가 있다'라고 생각하는 경향이 있다. 이것이 확률에 대한 판단을 그르치게 만든다. '순수하게 우연을 따르는 도박'의 일종인 복권을 보자. 특정 복권 판매점에서는 당첨 복권이 유난히 많이 나오는 사례를 종종 보게 된다. 그런데 이는 그 가게에서 팔기 위해 구비해 놓는 복권 장 수가 많기 때문에 당첨되는 복권도 그만큼 많은 것뿐이다. 소문이 날수록 사람이 더 몰리면 파는 복권 수는 더 많아지고 당첨 복권 수도 더 많아지는 순환이 일어난다. - 확률 계산은 의외로 재밌다! 복잡한 경우의 수를 셀 때 확률끼리 곱하거나 더하면 간단하게 계산할 수 있다. 이러한 방법을 이용하면 제비뽑기에서 제비 뽑는 순서에 따라 유불리가 달라지는지 검증할 수 있다. (뽑은 제비를 다시 포함시키지 않는 경우에 한해, 제비뽑기는 어떤 순서에 뽑든 평등하다.) 또 특정 사건이 일어나는 경우의 수를 세기가 너무 복잡하다면 전체 확률에서 그 사건이 일어나지 않는 경우의 수를 빼는 방법으로 셀 수도 있다. - '기댓값'과 '분산', 표준점수' 등 기본 개념을 알면 통계가 쉽다 '기댓값'이란 말 자체가 생소하게 느껴지는 이들은 기댓값을 '평균'과 같은 개념이라고 생각하면 쉽다. 다만 '앞으로 일어날 모든 경우의 수를 감안한 평균' 정도로 생각하면 된다. 이 기댓값 계산법을 이용해 복권을 구매할 때 기대할 수 있는 상금을 계산해 본다. 또 '분산'과 '표준편차', '표준점수'의 개념과 기본식을 설명한다. 특히 '표준점수'라는 말의 쓰임이 다양하게 이루어지고 있으므로 주의해야 할 점 등을 이야기한다.

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