이 책의 목적은 기하학을 시각적이고 직관적으로 표현하는 것이다. 시각적 상상의 도움을 받아 다양체에 기하학적 사실 및 문제를 설명할 수 있는데, 많은 경우 개념을 엄밀하게 정의하거나 실제 계산에 자세히 들어가지 않고도 연구 및 증명 방법의 기하학적 윤곽을 집어낼 수 있다. 예를 들어, 구멍이 난 공은 ─ 아무리 구멍이 작다고 하더라도 ─ 구부릴 수 있다는 사실이나, 서로 다른 토러스 모양의 곡면을 서로의 위로 각을 보존하며 감쌀 수 없다는 사실을 해석학적 논증을 세세히 따르고 싶지 않은 사람에게도 왜 그리고 어떻게 증명하는지 감을 얻을 수는 있도록 다룰 수 있다.
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지금까지는 초곡선을 논의했는데, 이제 동일초곡선 가족 내에서 종류가 다른 두 곡면의 쌍이 만나 이루는 다른 곡선들을 생각할 때가 됐다. 나중에 논의하겠지만 이 곡선들은 미분기하학적으로 간단한 성질을 갖는다(258쪽을 참고). 이들은 처음으로 평면에 들어 있지 않은 곡선의 예를 제공한다. 일반 위치에 있는 임의의 두 이차곡면이 만나 생긴 곡선은 통째로 한 평면 속에 들어 있지 않는 한 임의의 평면과 다섯 점 이상에서 만날 수는 없다. 평면이 각 곡면과 만나면 두 개의 원뿔곡선을 이루는데 일치하지도 않고 직선 전체를 공유하지도 않는 두 원뿔곡선은 다섯 점 이상에서 만날 수 없다는 것을 ─ 이 정리는 직관적으로도 당연하다 ─ 해석학적으로 쉽게 증명할 수 있기 때문이다(221쪽을 참고).
---p.42
민코프스키(Minkowski)가 격자에 대해 성공적으로 증명한 정리는 단순함에도 불구하고, 다른 방법으로는 취급하지 못한 수론의 많은 문제를 해결했다. 명쾌하게 하기 위해 여기에서는 가장 일반적인 형태로는 이 정리를 기술하지 않고, 공식화하기 쉬우면서도 정리의 정수는 모두 담아 내는 특별한 경우로 한정하려고 한다. 정리는 다음과 같다. 한 변의 길이가 2인 정사각형을 그 중심이 격자점에 놓이도록 아무 평면 단위격자에 겹쳐 놓으면 정사각형의 내부나 경계에는 반드시 다른 격자점이 존재한다.
---p.69
진성운동에 반사변환을 더하기만 해도 자연계에서 발견되는 다양한 결정구조를 모두 얻는다. …… 기하학적 방법 대신 대수적 방법을 이용하여 대칭변환의 불연속군을 찾을 수도 있다. 평면에서 이 방법을 쓰면 복소수 사이에 놀라운 관계가 드러나며 공간에서는 초-복소수 체계에 기초한 방법이 된다.
현재의 논의를 고차원 공간으로 일반화하는 건 흥미로운 문제다. 고차원 공에서 대칭변환의 불연속군과 관련한 몇 가지 결과를 발견했고 임의의 차원의 공간에서 정다면체에 해당하는 도형들도 알고 있다. 고차원 도형은 다음 장에서 더 얘기한다. 더욱이 비버바흐(Bieberbach)는 모든 n에 대해 n차원 결정학적군은 유한개이며 이러한 군들은 각각 n개의 일차독립인 평행이동을 포함함을 증명했다.
---p.133
데자르그의 정리와 파스칼의 네 번째 정리가 여러 면에서 비슷함을 보았다. 두 정리 모두 삼차원 도형의 사영을 통해 증명했다. 두 정리 모두 배치를 주는 데 둘 다 정칙이며 자가쌍대이고 자만으로 작도할 수 있으며, 마지막 결합 조건을 자동적으로 만족하며 자가 내접 및 자가 외접하는 다각형으로 간주할 수 있어 상당히 비슷하다.
그럼에도 두 정리 사이에는 기본적인 차이가 있다. 데자르그 정리의 증명에서 이용한 공간도형은 다른 공리를 더하지 않고 공간에서의 결합성에 대한 공리만을 갖고 작도할 수 있었다. 반면 파스칼-브리앙숑 배치는 이차곡면을 공부해서 얻은 것이다. 물론 증명의 핵심은 공간 육각형에서 순전히 점·직선·평면 사이의 결합 관계를 고려하는 문제처럼 보이지만 면밀히 조사하면 그러한 육각형을 작도하는 것이 본질적으로는 이차 모선곡면을 작도하는 것과 동일함을 알 수 있는데, 그러한 작도의 가능성은 결합 공리만으로 증명할 수 없다.
---pp.185~196
유클리드 평면기하의 공리로부터 시작하여 각 공리가 타원기하에서 유효한지 혹은 완화한 공리로 바꿔야 하는지 규명하기만 해도 타원기하가 유클리드 기하와 어떻게 관련돼 있는지를 완전히 이해할 수 있다. 이미 결합 공리와 (174쪽) 연속 공리를 (187, 188쪽) 언급했다. 유클리드 평면기하는 모두 다섯 종류의 공리군으로 ─ 결합 공리군, 순서 공리군, 합동 공리군, 평행선 공리, 연속 공리군 ─ 구성할 수 있다. 각 공리군은 몇 가지 기초 개념을 담고 있는데, 예를 들어 결합 공리는 점·직선·결합의 개념을 기초로 한다. 추가적인 개념 중에는 어떤 공리가 있어야 가능한 것이 있다. 예를 들어 선분이나 반직선의 개념은 순서 공리가 있어야만 가능하다. 선분의 개념은 합동 공리의 기초를 이루므로 합동 공리를 기술하려면 일정한 순서 공리를 미리 가정해야 한다.
---pp.319~320
지금까지는 주로 공간에서‘고정된 ’사물을 공부했는데, 이러한 사물이 기하학 연구의 출발점을 이루기 때문이다. 하지만 기하학의 요소에도‘운동’의 개념을 이용한다. 강체운동으로 두 도형을 겹쳐 놓을 수 있으면 합동이다. 더욱이 움직일 수 있는 쌍곡면도 공부했으며(23쪽을 보라), 움직이는 평면을 통해 모선곡면도 판별했고(278쪽~279쪽), 곡면을 구부리거나 비틀기도 했다(제4장). 운동학은 운동을 조직적으로 연구한다.
먼저 운동학 중 기본적인 거리기하와 밀접하게 관련된 연동장치부터 공부를 시작하겠다. 그 뒤 미분기하의 방법으로 더 일반적인 연속운동을 논의한다.
---p.363
인접영역 문제와 밀접하게 관련된 문제가 채색 문제다. 이 문제는 다음처럼 실질적인 지도 제작 문제로 표현할 수 있다. 곡면 위에 여러 개의 영역이 그려져 있다고 하자. 각 영역에 색을 칠하는데 곡선을 따라 서로 경계를 이루는 영역끼리는 다른 색으로 칠하기로 한다(두 영역이 고립점에서만 만나면 같은 색을 칠해도 좋다). 이런 규칙을 어기지 않으면서 곡면 위의 가능한 모든 분할에 대해 영역을 색칠하기에 충분한 색깔의 최소 개수를 찾는 문제다.
---p.448