문명사의 긴 여정 속에서 인류가 체험적으로 하나와 여럿 간의 ‘같음’과 ‘가운데’ 요소를 깨닫지 못하여 결국 분리시키고 서로 배타시하도록 하고 말았다. 하나는 여럿은 포함包涵하면서 동시에 포함包含된다는 이 한 가지 사실을 몰랐던 것이다. 칸토어의 집합론이 나타나고서야 가능해졌으나 이 사실을 아는 순간 역설이라는 난관에 봉착하게 되었다. 아니 포함包含을 기피한 이유 자체가 역설이라는 귀찮은 존재를 피하기 위한 의도적이었다고 할 수 있을 것이다. 역설이라는 난제를 피하기 위해 제논은 거북이와 아킬레스를 불러들여 경주를 시켰던 것이다.

제논의 역설이 여러 철학적 주제 가운데서도 오늘날까지 회자되는 이유는 그것이 ‘하나’와 ‘여럿’의 문제 혹은 전체와 부분의 문제를 제기하고 있기 때문이다. 일과 다의 문제는 철학의 여명기부터 동서양을 막론하고 풀기 어려운 과제로 남아있는 지속적인 철학의 한 과제(perennial problem)로서, 제논의 역설은 철학뿐만 아니라 수학과 과학에도 지대한 영향을 미치고 있다. 수학의 꽃인 미분과 적분의 문제 역시 제논의 역설이 그 불씨를 지폈다고 할 수 있다. 제논의 역설이 그렇게 다양한 문제를 갖고 있는 이유는 다름 아닌 그것의 성격 자체가 일과 다의 문제이기 때문이다. 그래서 ‘철학의 수학소’란 결국 ‘하나와 여럿’의 문제인 것이다.
---「초장 _ “제논의 역설과 러셀역설”」중에서

갈루아가 창안한 군이론에는 간단한 4대 법칙이 들어 있다. 그런데 이들 법칙들이 동양에서는 다반사로 언급된 음양오행이다. 이런 군론이 그동안 수학자들이 풀지 못하던 5차 방정식도 해가 없는 ‘풀리지 못하는 것’을 증명했다. 그러나 한국 문화 전통에서 어린아이들에게 가르치던 ‘도리도리 짝작궁 곤지곤지 잼잼’도 두 대칭 개념을 훈련시킨 것이었다. 그리고 군 훈련에서 제식훈련도 두 대칭을 교육하자는 것에 지나지 않는다.

이러한 군론을 정삼각형 하나로 군론의 거의 모든 이론을 설명할 수 있다. 정삼각형 안에는 ‘꼭지점 3개’와 ‘변 3개’가 있다. 세 개의 꼭지점들을 시곗바늘 방향의 순서대로 A, B, C라고 하고, 꼭지점에서 맞은편 변과 수직이 되도록 선을 긋고 그것을 X, Y, Z라 한다. 〈도표 1.1〉에는 똑같은 두 개의 삼각형을 가져다 놓았는데 왼쪽은 ‘기준삼각형’이라 하고, 오른쪽은 ‘실험삼각형’이라고 한다. XYZ는 축으로서 이 축을 중심으로 꼭지점들끼리 대칭을 만드는데, 이를 ‘반영대칭reflective’이라 한다.

이에 대해 삼각형 전체를 회전시켜 만드는 대칭을 ‘회전대칭rotational’이라고 한다. ‘기준’과 ‘실험’ 두 대칭을 말하는 이유는 삼각형의 경우 360도 회전을 하면 제자리에 되돌아오는데 그러면 회전 이전의 것과 회전 후의 것의 모양이 같아지기 때문에 이를 분간할 필요가 있기 때문이다. 이 분간은 생각보다 중요한 의미를 갖는 것이 군론의 특징이다.
---「1장 _ “갈루아 군론과 음양오행론”」중에서

라이프니츠가 역을 알고 있었던 것은 그가 쓴 편지 속에 남겨져 있지만, 칸토어가 역을 알고 있었는지의 여부는 확인되지 않는다. 그러나 대각선논법의 6대 요소들을 다 인지한 사람은 차라리 칸토어이다. 그래서 칸토어는 라이프니츠를 통해 간접적으로 역을 알게 되었을지도 모르고, 거기서 그가 발견한 것은 라이프니츠와는 달리 대각선논법이었을 것이다. 아래에서는 원도와 방도 안에서 라이프니츠가 6대 요소들을 미처 발견하지 못한 것을 지적한 것이 칸토어의 대각선논법에 나타난다는 것을 보여줄 것이다.

즉, 대각선논법의 6대 요소라는 관점에서 볼 때에, 역과 그것과의 관계는 더욱 분명해진다. 1877년에 이미 레이몬드 등에 의한 대각선논법이 있었지만 그것이 6대 요소들을 구비하지 못하였기 때문에, 진정한 의미의 대각선논법은 칸토어로부터 시작한다. 그리고 6대 요소를 다 갖출 때 이를 ‘대각선 가족diagonal family’이라고 한다. 그런 의미에서 역이 과연 대각선 가족의 일원이 될 수 있는가를 아는 것은 흥미 있는 일이라 할 수 있다. 아니 역이 칸토어의 대각선논법보도 더 오래된 것이기 때문에 칸토의 대각선논법이 ‘역의 가족’에 들어갈 수 있는가를 알아보는 것이 더 흥미롭다 할 것이다.

6대 요소들 가운데 먼저 ‘배열array’이라는 관점에서 볼 때 복희64괘도 혹은 선천역도에는 괘가 형성되는 두 가지 방법이 있다. 그중 하나는 ‘가일배법’이고, 다른 하나는 ‘일정팔회법’이다. 먼저 가일배법부터 생각해 보기로 한다. 물론 청대의 모기령은 이 두 가지 방법에 대해서 비판을 가하고 있지만, 그의 비판 자체가 선천역도들이 대각선논법과 밀접한 관계가 있다는 것을 잘 보여주고 있다. 우선 여기서는 가일배법을 필두로 이 방법이 집합론적으로 보았을 때 가지고 있는 의미와 문제점만을 먼저 지적해 보기로 한다.

‘복희선천도’ 혹은 ‘선천도’에는 ① 팔괘차서지도, ② 64괘차서지도, ③ 64괘방도, ④ 팔괘 방위지도, ⑤ 64괘 원도방위도, ⑥ 경세도, ⑦ 선천괘기도 등이 들어 있다. 이렇게 다양한 종류가 있는 이유를 6대 요소라는 관점에서 고찰해 볼 때 이들 요소들이 모두 대각선논법에서 제기된 문제들과 연관이 있는 것을 알 수 있다. 다시 말해서 칸토어가 대각선논법에서 제기한 ‘연속체 가설’의 문제를 해의하기 위한 한 과정에서 생긴 다양한 종류들이라고 할 수 있다. 그만큼 대각선논법이 동양에서는 구면이라 할 수 있다.

그런데 서양에서는 연속체 가설의 문제가 화두가 되어 20세기 수학과 철학은 모두 이 화두와의 씨름이라 해도 과언이 아닐 정도이다. 괴델과 코헨에 이르기까지 연속체 가설의 문제는 난제거리가 되었으며, 드디어 알랭 바디우는 이 난제에 근거하여 ‘수학적 존재론’을 전개, 『존재와 사건Being and Event』을 저술하였다. 바디우는 칸토어의 집합론에 집착한 나머지 대각선논법을 그 중요성에도 불구하고 구체적으로 말하고 있지는 않고 있다.

그러나 그가 ‘상황’과 ‘상황의 상태’를 구분한 것은 대각선논법 제일 증명과 제이 증명 특히 제이 증명에 밀접하게 연관이 된다. 필자는 바디우의 약점을 극복하여 대각선논법을 역과 연관시켜 세 권의 책을 출간한 바 있다. 바디우의 수학적 존재론의 미비점은 그가 위상학과 대각선논법을 연관시키지 못했다는 것이다. 바디우가 대각선논법, 나아가 위상학과 그의 수학적 존재론을 연관 짓지 못한 것은 의아스럽게 남겨진 부분이다. 바디우는 칸토어의 집합론에 일관한 것 같다. 한편 이 책은 대각선논법과 위상학 그리고 집합론을 연관시키는 것을 궁극적 목표로 삼는다. 역이 그 연결고리 역할을 할 것이다.
---「3장 _ “칸토어 대각선논법과 역”」중에서

서양 전통에서 수를 다루는 방법은 크게 세 가지로 나누어진다. 첫째로 자연수와 자연수(數)를 대응시키는 방법, 둘째로 자연수와 기호논리(象)를 대응시키는 방법(러셀), 셋째로 자연수를 문장(辭)에 대응시키는 방법(힐베르트)이다. 이러한 차이가 중원에서 수학의 삼파전이 펼쳐진 이유이다. 라이프니츠 이후 수학자들은 수 자체가 어떻게 성립하는가에 대한 고민을 하기 시작한다. 유클리드 이후 1, 2, 3…과 같은 수들을 자연스럽게 사용하였다고 하여 ‘자연수’라고 불렀다. 그러나 자연수를 다른 수들과 일대일 대응을 시킨 결과, 수에 대한 재검토와 함께 수학의 토대가 무엇인지를 묻게 되었다. 이를 수학에 대하여 ‘수학론’이라 하며, 집합론은 수학론에 해당한다. 이제부터 트로이카를 사용해 괴델 증명을 알아보기로 한다.

수학자 페아노는 ‘0’과 ‘s’(“…의 바로 다음”, successor를 의미함)가 산술의 기본이라고 보았다. 괴델은 여기에 부가적이고 기본적인 몇 개의 기호를 추가하여 ‘정항기호’라고 했다. 이것이 수에 논리기호가 가미된 효시이다. 이를 확산 연장하여 괴델은 다음과 같은 트로이카 수(괴델수), 논리기호(상), 문장(사)을 일치시키는 표를 만들었다. (중략)

네이글Ernest Nagel과 뉴먼James R. Neuman은 러셀과 화이트헤드의 기호와 언어를 좀 더 세련되게 만들었다. 러셀과 화이트헤드는 언어와 기호를 기본항과 변항으로만 나누었다. 괴델은 이를 다시 셋으로 나누고, 여기에 괴델수를 첨가하였다. 괴델이 나눈 세 종류의 항은 일종의 위계질서를 이룬다. 이러한 위계질서의 경우, 역에서도 효사와 괘사가 있고, 다시 괘사에 단사 같은 것들이 위계적으로 있는 것과 같다. 여기서 효사와 괘사 가운데 어느 것이 먼저 만들어졌느냐는 또 다른 문제이기는 하다. 그러면 이제부터는 이러한 세 단계 위계질서에 따라서 문장을 괴델수화하는 방법부터 고찰해 보기로 한다. 이는 마치 점술가들이 괘와 상을 뽑아 그것을 일상 언어로 바꾸는 작업과 같다.