“인류에게 가장 단순한 수학 개념인 ‘세는 것’이 시작된 것은 구석기 시대부터이다. 처음에는 모아놓은 물체를 손가락 같은 몸의 일부를 이용해 셌다. 긴 세월이 지나고 나서야 대상에 대응시켜 나타내는 표시의 모음으로 셀 수 있게 되었다. 이처럼 세는 것으로써 수의 개념을 눈으로 볼 수 있게 나타내는 가장 간단한 기법은 일대일대응의 원리를 적용한 눈금 새김(부신)이다.”
--- p.6

“숫자를 처음 체계적으로 사용한 곳은 메소포타미아와 이집트이다. 두 지역에 남겨진 기록을 보면 사람의 열 손가락에서 나온 10진법에 바탕을 둔 원리가 공통으로 사용되었음을 알 수 있다. 메소포타미아에서 쓰던 60진법도 10진법에 기반을 두고 있다. 곧, 10개 묶음을 6개 묶어 60을 밑수(base)로 삼아 산술을 발전시켰는데, 0을 나타내는 기호가 없는 최초의 자리기수법 체계였다.”
--- p.16

“플라톤은 피타고라스학파의 신조에 친숙하게 되었고 수학의 보편적 가치에 공감했다. 이로써 그는 과학과 철학의 바탕에 수와 기하를 두게 되었다. 그는 387년 무렵에 아테네로 돌아와서 아카데미아를 세웠다. 그는 그곳에서 철학과 과학을 체계적으로 탐구했다. 그의 이런 열정 덕분에 아테네는 수학계에서 우위를 차지하게 되었다. 그러다 프톨레마이오스 1세가 300년 무렵에 교육과 연구를 할 수 있도록 알렉산드리아에 박물관을 세우면서 유능한 수학자와 과학자가 알렉산드리아로 자리를 옮겼고, 이에 따라 수학의 중심지도 알렉산드리아로 옮겨갔다.”
--- p.93

“아리스토텔레스가 그동안 발전되어 온 여러 논의를 바탕으로 추론의 체계를 세웠다. 그는 완성된 공리적 수학을 전제로 논증 수학의 구조를 반성적으로 검토하면서 논리학을 세웠다. 곧, 아리스토텔레스는 수학에서 논리학을 끌어냈다. 그의 논리학으로부터 공리적 수학이 유래한 것이 아니다. 그가 제시한 논리학의 기본 원리(동일률, 모순율, 배중률)는 수학적 간접 증명의 골자이기도 하다.”
--- p.101

“유클리드는 두 가지 중요한 혁신을 일으켰다. 첫째로 그는 이전의 수학자와 달리 어떤 정리가 참이라고 주장만 하지 않고 수학적 증명의 개념으로 입증했다. 그는 이미 참으로 받아들여진 명제들로부터 일련의 논리적 과정을 거쳐 추론된 결과(명제)만 참으로 인정했다. 둘째로 그는 맨 처음에는 증명이 필요 없는(또는 증명할 수 없는) 어떤 명제들로부터 시작되어야 함을 알았다. 그는 정의, 5개의 공준, 5개의 공통개념을 제시하고, 이어서 명제들이 논리적으로 유도되도록 체계를 갖춰 구성하고 차례로 증명했다. 또한 어떤 증명도 그 과정에서 증명하고자 하는 것을 이용해서는 안 된다는 것에 주의했다. 〈원론〉의 기술 형식은 현대 수학의 원형으로 여겨진다.”
--- p.117

“피타고라스학파와 함께 시작된 수론과 기하학도 헬레니즘 시대에 빠르게 발달해서 3세기 동안의 비교적 짧은 시기에 매우 많은 연구가 이루어졌다. 이 시기를 그리스 수학의 ‘황금시대’라고 하는데 수학의 발달은 예술과 문학보다 조금 늦었다. 그것도 그리스 본토가 아닌 알렉산드리아에 이주해 있던 사람들이 이루었는데 유클리드, 아르키메데스, 아폴로니오스의 연구로 절정에 이르렀다.”
--- p.134

“그리스인은 수학을 천문학에 응용하면서 평면삼각법과 구면삼각법을 만들고 우주의 수학적 모형을 구성했다. 이 모형은 플라톤부터 프톨레마이오스 시대까지 5세기 동안 여러 차례 수정되었다. 프톨레마이오스의 모형은 코페르니쿠스가 등장하기 전까지 약 1400년 동안 태양계의 모형으로 인정받았다. 다른 한편 바빌로니아, 이집트부터 프톨레마이오스까지의 천문학은 일종의 실용에 응용하는 것으로써 점성술에서 줄곧 중요하게 사용되었다.”
--- p.184

“중국 역사에서 수학의 가장 중요한 역할의 하나는 달력 제작이었다. 일식, 월식과 같은 천문 현상을 미리 알고자 하는 왕조의 욕구와 맞물린 달력의 보급은 국왕의 특권이었다. 새로운 역법의 반포는 왕조의 정당성(하늘의 권한을 위임받은 황제)을 내세우는 주요 수단이었다. 중국에서 수리천문학을 중요하게 여긴 것은 정치가 점성술, 천문학과 단단히 엮여있었기 때문인데, 그 결속은 1900년 무렵까지 유지되었다. 이 결과로 중국의 수리천문학은 역법 계산에 한정되었다. 역설적이게도 우주의 구조에 바탕을 둔 천체의 운동에 관심을 두지 않음으로써 역법을 정확하게 계산하는 방법도 만들지 못했다.”
--- p.235

“15세기 말부터 16세기 초의 신항로 개척 시대에 진행된 도시화와 상업의 번성은 유럽이 발전하는 토대가 되었다. 아시아는 새로운 원료 공급처이자 시장이 되었고, 상공업을 비약적으로 발전시켰다. 바닷길에 대한 정보를 수록하고 항해에 직접 사용할 수 있는 해도(海圖)가 16세기에 본격 출현하여 항해에 큰 도움을 주었는데, 지도 제작술을 위해 투영법이라는 수학 기법을 활용했다.”--- p.354)

“무한원점(point at infinity)이라는 기하학적인 무한의 개념은 르네상스를 거치며 발전했다. 원근법을 다룬 저자들은 투영법과 절단면의 원리로부터 원근법 체계를 구성하는 몇 개의 정리를 끌어냈다. 원근법은 뒤러 이후 한 세기 반 이상 지난 17세기 후반에서야 수학의 일부가 되었으며, 원근법의 기하학에서 수학적으로 부족한 부분을 18세기에 테일러와 람베르트가 해결했다.”
--- p.409

“17세기 근대에 이르러 실험과 관찰로부터 얻은 사실을 수학적으로 정리하여 법칙을 세우는 방법이 발달하면서, 실험과 관찰에 쓰이는 기구나 장치가 중요해졌다. 튀코가 시계 제작자이자 로그의 발명가인 뷔르기가 설계하고 제작한 기구로 정교하게 천체를 관측한 결과와 갈릴레오가 망원경으로 행성의 위성을 발견하고 달 표면을 관찰한 결과는 그때까지의 이론을 뒤집었으며 엄청난 영향을 미쳤다.”
--- p.431

“미적분을 발명하게 된 계기는 순수수학 자체의 필요와 역학과 천문학 같은 실제의 필요에서 주어졌다. 미분은 곡선의 접선을 찾는 데서 발전하기 시작했다. 접선(법선)의 기울기를 구하는 문제는 만나는 두 곡선이 이루는 각을 계산하기(데카르트), 굴렁쇠선을 이용하여 시계를 제작하기(하위헌스), 천문학에서 중력 법칙을 증명하기(뉴턴)에도 적용되었다.”
--- p.478

“18세기 유럽에서는 지정학적 요인으로 대륙 전체를 통일하려는 모든 제국주의적 시도가 실패했다. 이런 정황이 나라 사이의 경쟁을 유발하여 과학을 촉진하고, 떠오르고 있던 산업혁명을 빠르게 대륙 전체에 퍼뜨렸다. 이 시기의 전제군주들은 자신의 영광을 위하여 학자들을 가까이에 두었다. 생산력과 군대의 효율성을 높이는 자연과학과 (응용)수학의 중요한 역할을 이해했기 때문이다. 강력한 중앙집권 국가가 등장하면서 유용한 지식에 재정을 지원하는 양상이 나타났는데, 각 나라의 왕과 귀족이 과학자와 수학자를 확보하려는 경쟁이 심해졌다.”
--- p.553

“19세기에는 산업에서 새로운 기술적 요청이 있던 데다가 수학과 자연 사이의 관계를 옳게 파악할 수 있는 여건이 조성되었다. 이 덕분에 새롭고 풍부한 수학이 창조될 수 있었다. 수학이 확장된 일차 원인은 과학의 확장이었다. 물리학에서 특히 그러했는데, 새로운 수학 연구는 과학의 목적을 기계학이나 천문학으로 보는 고대의 시각에서 해방되어, 과학 그리고 그것과 융합된 기술을 발판으로 새로운 영역을 개척했다. 이 세기의 가장 눈에 띄는 과학 발전은 전기와 자기에 관한 연구일 것이다. 여기서 나온 물리적 원리가 수학적으로 표현되고 그것을 다시 물리적 원리에 적용할 수 있게 됐다. 이럼으로써 새로이 드러난 현상들이 하나의 수학 체계 안에 포함되었고, 이어서 라디오와 텔레비전이라는 실제 결과물이 나왔다.”
--- p.643

“1차 세계대전 뒤에 독일의 영향력은 커졌고, 이탈리아 학파는 거의 잊혔다. 독일의 힐베르트가 주창한 공리주의는 수학과 수학교육의 현대화에 많은 영향을 끼쳤다. 그는 수학의 논리적 구조를 점검하는 접근 방법을 다룸으로써 유클리드 기하학을 비롯한 여러 기하학의 기초를 점검할 수 있도록 해주었다. 또한 힐베르트 덕분에 기하학에 대수학과 해석학에서 보이는 형식적인 특성을 부여할 수 있었다.”
--- p.799

“20세기 중반 이후로 수학은 과학의 거의 모든 분야와 관련을 맺고있다. 수학의 저변 확대는 아이러니하게도 2차 세계대전이 계기로 작용했다. 군사력의 증강과 함께 수학자의 지위도 높아졌다. 전 세계적인 전쟁 분위기, 우주를 탐사하려는 욕구, 수학이 아닌 분야(물리학, 통계학, 컴퓨터과학 등)의 발전을 포함하는 여러 외적인 요소가 수학의 응용을 자극하여 많은 실용적인 발전을 이루었다.”
--- p.809

“괴델의 불완전성 정리는 수학이 형식 언어로 표현될 수 없음을 보임으로써 고전적인 모든 수학의 형식화된 형태에 치명타를 날렸다. 모든 참인 명제와 거짓인 명제를 유일하게 결정할 유한개의 공리 목록을 작성할 수 없음이 밝혀짐으로써 힐베르트의 프로그램은 끝났다. 어떠한 체계도 모순 없이는 완전해질 수 없음, 곧 무모순의 대가는 불완전이다. 이로써 수학의 기초를 다루는 연구에 새로운 전기가 마련되었다. 참고로 불완전성 정리는 호킹이 우주를 묘사할 수 있는 하나의 대통일 이론은 성립할 수 없다고 주장하는 근거이기도 했다.”
--- p.815

“20세기에 들어와서 수학이 빠르게 추상화, 형식화되었는데 수학 연구를 활성화시키는 것은 구체적인 문제와 추상화의 상호작용이다. 여기서 중요한 역할을 한 것은 기호화이다. 기호는 간결함과 형식적 완벽함을 가져다주었는데 이 덕분에 일상 언어로는 결코 다룰 수 없는 생각을 나타내고 연구할 수 있었다. 20세기에는 완전히 새로운 연구, 이를테면 측도, 혼돈, 범주, 프랙털, 매듭, 초함수, 초끈 등과 같은 주제가 다루어졌다.”