이 책에서는 미적분의 본질=‘생각하는 요령’이라는 점을 중시합니다. 이를테면 제1장에서는 적분 기호가 거의 나오지 않기 때문에, 이렇게 해서 정말로 이해할 수 있을까 하는 걱정이 들 수도 있습니다. 그러나 제1장에서 미적분의 본질을 읽어놓으면 제2장부터 등장하는 여러 가지 공식과 수식이 뜻밖이라 할 만큼 쏙쏙 이해될 것입니다(p9. 머리말)


초등학교 때 배운 도형의 넓이와 부피의 계산. 사실 이것들은 적분의 세계에 잇닿아 있습니다. 우리는 고등학교에서 갑작스럽게 적분과 마주치게 되는 것이 아닙니다. 초등학교에서 착실하게 워밍업을 하고 나서 좀 더 높은 수준의 적분으로 나아가는 것뿐입니다.(P14. 적분의 존재가치)

적분이란 파고들어 가면 ‘조각의 합’이었을 뿐, 달리 특별한 일을 하는 것은 아닙니다. 일단 적분 식을 쓸 수 있으면 수치를 계산하는 것은 간단합니다. 여러 가지 양을 적분 식으로 나타내는 것, 궁극적으로는 이것이야말로 우리에게 필요한 능력입니다.(P83. 감각과 논리)


미분은 적분과 견주면 이미지로 파악하는 게 어렵습니다. 적분 부분에서 나왔던 원, 구, 원뿔, 회전체의 넓이와 부피는 어느 것이든 쉽게 실감할 수 있습니다. 그런데 이와는 달리 미분은 이해하기가 어렵습니다. 왜 미분은 어려울까요? 미분이 ‘비(比)’이기 때문은 아닐까요?(P86. 미분의 존재가치)


곱의 미분 공식은 17세기에 뉴턴이 생각해 냈습니다. 이것은 인류에게 매우 커다란 진보였습니다. 왜냐하면 곱의 미분 공식 덕분에 미분의 세계가 그림(기하학)에서 계산(대수학)으로 변했기 때문입니다. 그림으로 생각하는 쪽이 아무리 다루기 쉽다고 해도 한계가 있습니다. 지수가 큰 거듭제곱 식을 미분하는 데 정사각형이나 정육면체를 하나하나 머릿속에 떠올려야 한다면 오히려 번잡스러워질 것입니다. 그때 곱의 미분 공식을 써서 계산하면 이내 답이 나옵니다.(P106. 미분의 존재가치)


미적분은 순수한 흥미만으로 발전해온 수학이 아닙니다. 미적분에 등장하는 여러 가지 개념과 계산 기술은 까닭 없이 나온 것이 아닙니다. 미적분의 어떠한 개념, 계산 기술에는 반드시 목적의식이 있습니다. 미적분은 체계가 세워져 있는 학문이지만 실제적인 면에서 방대한 방법론의 집적이기도 합니다. 심오한 부분이 없는 것은 아니지만 대부분은 ‘이렇게 생각하면 잘 된다’ 하는 이야기들을 모은 것입니다(P143. 1800년만에 밝혀진 진실)

그렇지만 학교 수학에서는 “제곱하면 2가 되는 값은?”이라는 질문을 받았을 때 “대략 1.4정도입니다.”라고 대답하면 “틀렸어!” 하고 야단을 듣습니다. 이때는 “√ 2입니다.”라고 말해야만 끝이 납니다. 이런 식이라면 미적분의 본질인 ‘근사와 무시’는 이해하지 못한 채 지나가 버릴 것입니다. (P211. 미적분의 정체)


도형을 얇게 잘라내는 이야기로부터 시작한 미적분의 이야기가 네이피어 수 e를 거쳐 마침내는 현수선의 길이까지 우여곡절 끝에 더듬더듬 도착하게 되었습니다. 여기까지 읽는다면 ‘근사와 무시’라는 사고방식을 당연한 것으로 생각하게 되지 않았을까요? 이것은 엄청난 진보입니다(P212. 미적분의 정체)