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품목정보
| 발행일 | 2011년 11월 09일 |
|---|---|
| 쪽수, 무게, 크기 | 376쪽 | 628g | 153*224*30mm |
| ISBN13 | 9788954427050 |
| ISBN10 | 8954427057 |
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저자 소개 (2명)
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뉴턴이 나무에서 떨어지는 사과를 보고 중력의 핵심을 간파했다는 유명한 (하지만 사실이 아닐 듯한) 일화를 생각해보자. 사과의 위치와 속도는 매 순간 변화한다. 물리학자들이 타임 제로(시간 변수 t 값이 0일 때)라고 부르는 시간에는 사과가 아직 나무에 매달려 있다. 몇 분의 1초 후에는 사과가 떨어지기 시작하고, 또 몇 분의 1초 후에는 나뭇가지에서 땅으로 가는 도중이고 등등. 사과는 매우 조금씩(이를 ‘무한소’라 부른다) 낙하하다 결국 땅이나 뉴턴 머리에 떨어진다. 여기서 특정 시각에 대한 사과의 위치를 나타내는 작은 점을 데카르트 좌표계에 하나하나 찍고 연결하면, 포물선의 절반에 해당하는 곡선이 나온다.
곡선을 그린 다음, 뉴턴은 페르마의 이전 연구를 이용해 곡선의 접선 기울기 계산법을 알아냈다. 그 기울기가 바로 미분계수인데, 뉴턴은 이를 ‘유율 fluxion’이라고 일컬었다. 이어서 그는 곡선의 아래 넓이 계산이 정반대 과정에 해당함을 깨달았다. 뉴턴이 통찰한 핵심은 미분계수와 적분의 관계다. 곡선 아래 넓이 계산(적분)은 접선 기울기 계산(미분)의 역이다. 이게 바로 미적분의 기본 정리다. --- pp.45-46
이것은 미적분 초보자에게 가장 흔한 걸림돌이 된다. 0.9999…라는 개념이 사실상 1과 같다니! 어느 늦은 밤 내가 극한을 이해하려고 끙끙대고 있을 때, 남편 숀은 이걸 끈기 있게 설명해주었다. 하지만 나 역시 이 수학적 사실을 선뜻 받아들이지 못했다. 직관적으로 우리는 분수를 유한합이라고 생각한다. 아무튼 우리는 파이의 19조각을 먹어본 적이 있지 않은가. 하지만 우리는 π나 황금비 φ 같은 무리수에 대해서도 배운다. 무리수에서는 일련의 소수 전개가 그야말로 영원히 계속된다.
바로 그게 내 실수였다. 나는 0.999…가 1에 점점 가까워지되 정확히 그 값에 이르지는 않는 무리수라고 생각했다. 이는 사실이 아니다. 0.999…는 소수부에서 같은 수가 끝없이 반복되는 유리수이고, 따라서 유한합이 있다. 이 무한소수의 극한은 1이다. 이 말은 곧 0.999…가 무한급수가 아니라 일정한 값이라는 뜻이다. 모순 같기도 하지만, 사뭇 다른 두 수학적 표기는 그럼에도 같은 수를 나타낸다. 수학 선생님에게 0.999999…는 1의 다른 표기법일 뿐이다. --- pp.57-58
타워오브테러에서 우리는 스릴감뿐 아니라 고전 역학에 관련된 미적분의 탁월한 예도 얻을 수 있다. 물론 우리의 물리적 운동은 수직으로 오르내리는 운동이다. 그러나 ‘시간’에 따른 높이(위치) 변화를 한 점 한 점 데카르트 좌표계에 찍은 다음(상승 궤적과 하강 궤적 모두) 그 점들을 이으면, 아까 숀을 그렇게 기쁘게 한 포물선이 뚜렷이 나타날 것이다(사과의 경우도 마찬가지다).
어째서 그렇게 될까? 우선 시작 속도부터 생각해보자. 그것은 0이아니다. 지금 우리는 놀이기구의 출발 시점(이때 속도는 0이다)이 아니라 자유낙하 시작 시점의 속도를 이야기하고 있기 때문이다. --- pp.134-135
좀비화 과정의 확립된 규칙은 이러하다. 좀비는 머리를 자르거나 해서 뇌를 파괴하면 죽일 수 있다. 예비감염자는 좀비한테 물리면 좀비가 된다. 하지만 사망자가 부활해 좀비가 되기도 한다. 가령 매시간 예비감염자 6명이 좀비가 되고 사망자 4명이 좀비로 부활한다면, 매시간 좀비가 10마리씩 생길 것이다. 그런데 우리가 어떻게든 매시간 3마리씩 죽인다고 치자. 그러면 좀비 수가 결국 시간당 7마리꼴로 늘어날 것이다. 그런 속도라면 이른바 ‘만연 상태’, 즉 편안한 균형 상태 내지 평화로운 공존 상태가 유지될 가능성은 없을 것이다.
스미스?의 모델은 거기서 끝나지 않는다. 그것은 단지 좀비 수 변화율의 계산 방식일 뿐이다. 우리는 사망자와 예비감염자 수가 바뀌는 방식도 방정식으로 만들어야 한다. 즉 인간의 출생·사망률도 감안해야 한다는 뜻이다. 이를 보통 ‘연립 상미분방정식’이라고 부르는데, 이 용어는 한 방정식이 아니라 연립하는 세 방정식으로 설명해야 하는 체계를 복잡하게 표현한 말일 뿐이다. 여기서 세 방정식은 각각 예비감염자 수의 변화 방식, 좀비 수의 변화 방식, 사망자 수의 변화 방식을 나타낸다. --- pp.203-204
이제 미적분이 도움이 될 것이다. 이 경우 우리는 하루 섭취 허용 칼로리와 식비 예산이 정해진 상황에서 ‘맛’, 즉 음식에서 얻는 즐거움을 극대화하고 싶다. 이 수수께끼를 풀기 위해 우리는 맛( y)을 다이어트 식단( f )의 함수 그래프로 그려보려고 한다. y는 ‘yummy(맛있는)’의 머리글자이고, f 는 식단의 구성 요소로 우리가 좋아하는 온갖 음식(food)이다. 하루 섭취 허용 칼로리가 2000이고 식비 예산이 40달러라면, 두 상수의 한계선 안에서 우리는 지금 식단을 어떻게 조정해야 맛( y)을 극대화할 수 있을까? --- p.244
기압파를 감지한 뇌는 그 신호에 대해 푸리에 변환을 수행해 ‘소리’의 진동수와 진폭을 식별한다. 귀는 압력의 변화를 시간의 함수로 평가한다. 그것은 하나의 음일 때도 있고, 음악의 화음처럼 뭉친 여러 음일 때도 있다. 어느 경우든 뇌는 푸리에 변환으로 전체 음파의 구성 요소를 밝혀낸다. 마찬가지로 우리가 노을을 보고 특정 빛깔?화려한 선홍빛이든 미묘한 핑크빛이든 ? 을 알아볼 때마다 우리 뇌는 푸리에 변환으로 특정 진동수의 빛을 분리해낸다. 서퍼가 파도를 쳐다볼 때 그의 뇌 또한 이와 비슷한 계산을 하고 있다.
곡선을 그린 다음, 뉴턴은 페르마의 이전 연구를 이용해 곡선의 접선 기울기 계산법을 알아냈다. 그 기울기가 바로 미분계수인데, 뉴턴은 이를 ‘유율 fluxion’이라고 일컬었다. 이어서 그는 곡선의 아래 넓이 계산이 정반대 과정에 해당함을 깨달았다. 뉴턴이 통찰한 핵심은 미분계수와 적분의 관계다. 곡선 아래 넓이 계산(적분)은 접선 기울기 계산(미분)의 역이다. 이게 바로 미적분의 기본 정리다. --- pp.45-46
이것은 미적분 초보자에게 가장 흔한 걸림돌이 된다. 0.9999…라는 개념이 사실상 1과 같다니! 어느 늦은 밤 내가 극한을 이해하려고 끙끙대고 있을 때, 남편 숀은 이걸 끈기 있게 설명해주었다. 하지만 나 역시 이 수학적 사실을 선뜻 받아들이지 못했다. 직관적으로 우리는 분수를 유한합이라고 생각한다. 아무튼 우리는 파이의 19조각을 먹어본 적이 있지 않은가. 하지만 우리는 π나 황금비 φ 같은 무리수에 대해서도 배운다. 무리수에서는 일련의 소수 전개가 그야말로 영원히 계속된다.
바로 그게 내 실수였다. 나는 0.999…가 1에 점점 가까워지되 정확히 그 값에 이르지는 않는 무리수라고 생각했다. 이는 사실이 아니다. 0.999…는 소수부에서 같은 수가 끝없이 반복되는 유리수이고, 따라서 유한합이 있다. 이 무한소수의 극한은 1이다. 이 말은 곧 0.999…가 무한급수가 아니라 일정한 값이라는 뜻이다. 모순 같기도 하지만, 사뭇 다른 두 수학적 표기는 그럼에도 같은 수를 나타낸다. 수학 선생님에게 0.999999…는 1의 다른 표기법일 뿐이다. --- pp.57-58
타워오브테러에서 우리는 스릴감뿐 아니라 고전 역학에 관련된 미적분의 탁월한 예도 얻을 수 있다. 물론 우리의 물리적 운동은 수직으로 오르내리는 운동이다. 그러나 ‘시간’에 따른 높이(위치) 변화를 한 점 한 점 데카르트 좌표계에 찍은 다음(상승 궤적과 하강 궤적 모두) 그 점들을 이으면, 아까 숀을 그렇게 기쁘게 한 포물선이 뚜렷이 나타날 것이다(사과의 경우도 마찬가지다).
어째서 그렇게 될까? 우선 시작 속도부터 생각해보자. 그것은 0이아니다. 지금 우리는 놀이기구의 출발 시점(이때 속도는 0이다)이 아니라 자유낙하 시작 시점의 속도를 이야기하고 있기 때문이다. --- pp.134-135
좀비화 과정의 확립된 규칙은 이러하다. 좀비는 머리를 자르거나 해서 뇌를 파괴하면 죽일 수 있다. 예비감염자는 좀비한테 물리면 좀비가 된다. 하지만 사망자가 부활해 좀비가 되기도 한다. 가령 매시간 예비감염자 6명이 좀비가 되고 사망자 4명이 좀비로 부활한다면, 매시간 좀비가 10마리씩 생길 것이다. 그런데 우리가 어떻게든 매시간 3마리씩 죽인다고 치자. 그러면 좀비 수가 결국 시간당 7마리꼴로 늘어날 것이다. 그런 속도라면 이른바 ‘만연 상태’, 즉 편안한 균형 상태 내지 평화로운 공존 상태가 유지될 가능성은 없을 것이다.
스미스?의 모델은 거기서 끝나지 않는다. 그것은 단지 좀비 수 변화율의 계산 방식일 뿐이다. 우리는 사망자와 예비감염자 수가 바뀌는 방식도 방정식으로 만들어야 한다. 즉 인간의 출생·사망률도 감안해야 한다는 뜻이다. 이를 보통 ‘연립 상미분방정식’이라고 부르는데, 이 용어는 한 방정식이 아니라 연립하는 세 방정식으로 설명해야 하는 체계를 복잡하게 표현한 말일 뿐이다. 여기서 세 방정식은 각각 예비감염자 수의 변화 방식, 좀비 수의 변화 방식, 사망자 수의 변화 방식을 나타낸다. --- pp.203-204
이제 미적분이 도움이 될 것이다. 이 경우 우리는 하루 섭취 허용 칼로리와 식비 예산이 정해진 상황에서 ‘맛’, 즉 음식에서 얻는 즐거움을 극대화하고 싶다. 이 수수께끼를 풀기 위해 우리는 맛( y)을 다이어트 식단( f )의 함수 그래프로 그려보려고 한다. y는 ‘yummy(맛있는)’의 머리글자이고, f 는 식단의 구성 요소로 우리가 좋아하는 온갖 음식(food)이다. 하루 섭취 허용 칼로리가 2000이고 식비 예산이 40달러라면, 두 상수의 한계선 안에서 우리는 지금 식단을 어떻게 조정해야 맛( y)을 극대화할 수 있을까? --- p.244
기압파를 감지한 뇌는 그 신호에 대해 푸리에 변환을 수행해 ‘소리’의 진동수와 진폭을 식별한다. 귀는 압력의 변화를 시간의 함수로 평가한다. 그것은 하나의 음일 때도 있고, 음악의 화음처럼 뭉친 여러 음일 때도 있다. 어느 경우든 뇌는 푸리에 변환으로 전체 음파의 구성 요소를 밝혀낸다. 마찬가지로 우리가 노을을 보고 특정 빛깔?화려한 선홍빛이든 미묘한 핑크빛이든 ? 을 알아볼 때마다 우리 뇌는 푸리에 변환으로 특정 진동수의 빛을 분리해낸다. 서퍼가 파도를 쳐다볼 때 그의 뇌 또한 이와 비슷한 계산을 하고 있다.
--- pp.302-303
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