인류는 개수, 거리, 크기 같은 양적 개념을 수만 년 동안 ‘수’로 인식하지 못했다. 그렇다고 해서 인류가 어느 날 갑자기 수를 깨달은 것은 절대로 아니다. 셀 수 있는 양과 셀 수 없는 양을 비교하고 전달하고 기록하는 과정에서 수많은 작은 도약이 있었고, 그것이 쌓이고 쌓여서 마침내 ‘수’라는 개념을 보게 된 것이다.
--- p.20~21

이 발상은 수의 역사에서 가장 중요한 사건 중에 하나다. 이것은 인류가 양을 크기와 분리하면서 양을 양으로서만 인식했던 한계를 넘었다는 것을 의미하기 때문이다.
--- p.45

이처럼 큰 수를 말하기 위해서는 더하는 규칙만으로는 한계가 있다. 이런 불편함을 해소하기 위해서 ‘곱하는 규칙’이 새롭게 추가되었을 것이다. 예를 들어 중국의 수단어인 ‘십만(十萬)’은 ‘십(10)×만(10000)’을 표시하고, 영어의 수단어인 ten thousand도 ‘ten(10)×thousand(1000)’을 의미한다.
--- p.89

이제 남은 빵 2개를 잘라서 3명이 나누어 가져야 한다. 예나 지금이나 애매하게 남은 것을 분배하는 것은 어려운 일이다. 누군가가 받지 않고 포기하겠다면 쉽게 끝나는 일이지만, 그렇지 않은 경우에는 공평한 분배가 필요하다. 옛날 사람들도 같은 문제를 겪고, 새로운 방법으로 이 문제를 해결했다. 이른바 분수의 탄생이다.
--- p.156

두 양 또는 두 수의 관계를 나타내던 비는 사칙연산이 가능한 분수를 만나 비율을 의미하게 되었고, 수로 인정받았다. 여기에 백분율이 실용성을 부여하면서 비율은 현대 사회에서 굉장한 위치를 차지하고 있다. 설문조사, 상승률, 구매율 등 수치로 표현할 수 있는 것들을 대부분 비율로 표현할 정도이다.
--- p.214

남은 빵을 잘라서 분배하는 과정에서 분수가 만들어졌고 빵을 남김없이 나누는 과정에서 약수를 보았다. … 그런데 약수를 들여다볼수록 수학자들의 주의를 끄는 ‘수’가 있었다. 그것은 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수, 이른바 소수였다. … 역설적으로 소수의 규칙성을 알지 못하는 것이 지금 소수의 거의 유일한 쓸모가 되었다. -
-- p.216~217

그저 ‘자리가 비어 있다’는 기호에 불과하던 0이 당당히 ‘수’로서 인정받아 0으로 나누는 것을 제외한 연산이 가능해졌다. 이제 0은 등식의 한쪽을 책임질 수도 있고 1과 협력하면 세상의 모든 지식을 담을 수도 있게 되었다. 하지만 여전히 0으로 나누는 것만은 문제가 되고 있다.
--- p.254

하지만 0도 음수로 인해서 새로운 지위를 얻게 되었다. 음수가 없으면 0은 시작점일 뿐이다. 그 지위조차도 1과 싸우고 있지만 말이다. 음수가 ‘수’로서 인정받게 되자 0은 시작점에서 기준점으로 그 지위가 바뀌었다.
--- p.273

무리수는 수였다가 수가 아니었다가 다시 수가 되는 등 우여곡절을 많이 겪은 수이다. 더욱이 이제는 유리수가 특이한 수이고 무리수가 실수의 거의 대부분이라는 것까지 알게 되었다. 그런데 놀라기에는 아직 이르다. 우리가 수의 전부라고 알고 있는 실수마저 수의 아주 작은 일부에 불과했기 때문이다. 이른바 허수라고 불리는 차원수는 실수와 다른 차원의 수이다.
--- p.335

그런데 역사상 가장 위대한 수학자 중의 한 명인 레온하르트 오일러가 제곱해서 음수가 되는 수의 기호로 데카르트가 말한 imaginary의 ‘𝑖’를 사용함으로써 데카르트의 말이 지금까지 살아남는 데 절대적으로 기여했다. 역사상 가장 위대한 또 한 명의 수학자인 가우스는 사람들이 허수를 제대로 이해하지 못하게 된 데에는 ‘상상의 수’라는 이름도 한몫했다고 말할 정도로 ‘상상의 수’라는 이름을 못마땅해했다.
--- p.345

당시 스테빈은 이자를 계산하는 일을 하였다. 당시 모든 이자율을 단위분수(분자가 1인 분수)로 사용했는데 분모가 10인 아닌 단위분수는 계산이 복잡하고 불편하였다. 그는 분모가 10의 거듭제곱 꼴이 아닌 분수의 분모를 10의 거듭제곱 꼴로 변형해서 사용했다.
--- p.370

이렇게 개념과 용어를 지나치게 엄밀하게 정의하면, 그 생생함과 구체성이 사라지고 추상화된다. 라이프니츠의 제자들이나 코시의 함수 조건에는 입력 변수와 출력 변수를 이어 주는 수식이 반드시 필요했지만, 디리클레의 함수 조건에는 두 변수를 이어 주는 화살표만 남았다.
이렇듯 일단 추상화되면 누구나 그렇다고 인정할 수밖에 없는 뼈대만 남는다. 이는 마치 우리가 얼굴 엑스레이 사진을 보고 그 사람의 얼굴을 유추하는 것과 같다. 함수를 배우는 학생들이 함수를 어려워하는 이유이다.
--- p.401

‘-’ 기호가 덧셈의 횟수를 의미하는 것처럼 지수는 곱셈의 횟수를 지시한다. 예를 들어 2를 7번 곱하라는 지시를 내리기 위해서 2를 7번, ‘-’ 기호를 6번 쓸 필요 없이 다음과 같이 2의 오른쪽 어깨에 7을 작게 쓰는 것으로 같은 명령을 내릴 수 있다.
--- p.406

네이피어의 로그표는 단순하지만 자릿수가 길어서 시간이 많이 걸리는 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈으로 간단히 풀 수 있도록 해 주었다. 라플라스(Pierre-Simon, marquis de Laplace, 1749~1827)가 “로그는 천문학자의 수명을 2배로 늘렸다.”라고 말했을 정도로 로그는 복잡한 수에 대한 계산의 효율성을 높였다.