분명히, 수식을 사용하지 않고 수학을 설명하는 것은 음표를 사용하지 않고 음악을 설명하기보다 훨씬 어려운 일일 것이다. 하지만 음표를 읽지 못해도 감수성만 있다면 뛰어난 음악평론가가 될 수 있다. 물론 작곡가나 연주자는 될 수 없겠지만…….
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칸토어가 시작한 전대미문의 시도는 ‘무한을 센다’라는 것이었다.
‘무한’이라는 말은 종종 사용되어왔지만, 상식적으로
그것은 뚜렷한 의미를 가진 것이 아니라 오히려 인간의 헤아리는 능력을 넘어선 것을 의미했다. 그것은 ‘유한하지 않다’라는 단지 부정적인 의미만 지니고 있었다. 그런 것이 어떻게 정확성을 생명으로 하는 수학의 연구 과제가 될 수 있을까. 누구라도 이런 의문이 먼저 솟구칠 것이다.
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수천만이 될 만한 인간의 집합인 국가는 헤아릴 수 없을 정도로 많은 그물눈으로 각 개인, 말하자면 각 원소가 연결되어있다. 법률, 경제, 습관, 도덕, …… 등의 여러 관계로 각 개인은 서로 관계하고 있으며, 또한 하나의 국가는 지방이나 직업, 계급 같은 소구분으로 나뉘어있다. 구체적인 국가는 대개 이러한데, 이런 상호관계의 그물눈을 모두 무시하고 인구만 남겨서 생각하는 방식이 집합론의 입장이라고 말할 수 있다.
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수학자의 눈앞에 놓여있는 것은 ‘어떤 상호관계가 규정된 기호의 집합’이다. 이 집합에서 하나의 원소를 떼어내서 바라보아도, 그것은 단순히 기호 이외의 어떤 것도 아니다. 다리 여섯 개가 있는 것도 아니고, 날개 네 장을 가진 것도 아니다. 그 기호 자신은 다른 것과 관계하여 비로소 특징을 발휘하는 것이므로, 그것들을 분류할 때도 상호관계를 실마리로 삼아야만 할 것이다. 상호관계를 실마리로 하는 분류법은 아마도 수학 특유의 것이며, 다른 과학에서는 찾아볼 수 없는 것이리라.
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수학에서 데카르트가 이룩한 불후의 업적은 해석적인 수단, 쉽게 말하면 계산의 수단에 의해 도형이나 공간 등을 연구하는 길을 발견했다는 점이다. 도형을 보는 눈에 계산하는 손을 더한 것이다. 그때, 좌표라는 수단이 두 가지를 이어주는 통로가 된 셈이다. 즉 해석학이라는 태평양과 기하학이라는 대서양을 잇는 파나마운하 역할을, 데카르트의 좌표가 맡았던 셈이다.
--- p.131

‘시각장애인 기하학자’라는 말은 분명 ‘외다리 마라톤 선수’나 ‘언어장애인 성악가’와 같은 모순적인 뉘앙스를 갖고 있다. 하지만 폰트랴긴의 경우, 눈을 잃었다는 것이 오히려 좀 더 고도의 공간적 직관력의 발달을 촉진한 것 아닐까. 더욱이 이처럼 논리로 단련된 고도의 직관이야말로 수학이 필요로 하는 것이다. 많은 경험은 언어장애인의 공간 감각이 종종 정상인의 그것을 뛰어넘는다는 것을 가르쳐주는데, 폰트랴긴이 시력을 잃은 것은 아마도 베토벤의 청력 상실과 더불어 심리학자에게 흥미로운 과제를 제시할 것이다.
--- p.146

그런데도 독자의 마음 한구석에는 한 덩어리의 불만이 남을지도 모르겠다.
‘이것은 멋진 연구다. 하지만 이 역시 교묘한 사고의 유희에 지나지 않는다.’ …… 독자 여러분은 ‘거리공간’이나 ‘위상공간’을 만났을 때 이미 이렇게 느꼈을 것이다.
하지만, 여기서도 다시 잘 생각해보자. 과연 우리가 확고부동하다고 생각하고 있는 점, 직선, 평면 같은 개념도 과연 그렇게 의문의 여지가 없는 것일까. 유클리드 직선은 이 모델의 ‘직선’에 비해 무조건 실재적일까. 잘 생각해보면 그런 상식을 지지하는 논리적인 근거는 하나도 찾아볼 수 없다.
--- p.221

다른 과학도 그렇지만, 수학의 발전 방식은 결코 잘 닦인 하나의 도로가 아니라 수많은 미로가 있는 울퉁불퉁한 비탈길이다. 과학에서 불가지론은 하나의 패배에 다름없지만, 낡은 도그마가 무너져서 망연자실할 때 불가지론이 머리를 쳐드는 법이다. 하지만 이 위기야말로 다시 새로운 이론이 태어날 좋은 기회인 경우도 많다. 상대성이론은 이런 위기의 순간에 태어났다. 그리고 상대성이론의 이론적 근거를 마련한 것은 비유클리드기하학과 불변식이라는 사상이었다.