먼저 더밋이 술어를 단순한 것과 복합적인 것으로 나눌 때 두 가지 서로 다른 기준에 의존한다는 사실을 지적할 필요가 있다. 하나는 논리적 단순성의 기준에 따라 규정하는 것이고, 다른 하나는 술어를 구성하는 방식에 따라 규정하는 것이다. 어떤 표현이 논리적으로 복합적이라는 것은 그것의 어떤 구성 요소가 표현 전체의 뜻과는 다른 뜻을 가질 뿐 아니라 그 구성 요소의 뜻이 표현 전체의 뜻의 일부가 된다는 것을 말한다. 반면 어떤 표현이 논리적으로 단순하다는 것은 표현 전체의 뜻과는 다르지만 그 일부인 뜻을 갖는 그런 구성 요소가 그 표현 안에 존재하지 않는다는 것이다.
--- 「1부, 2장_ 프레게와 다항양화」 중에서

프레게에게 논리적 대상이란 단지 논리학의 연구 대상이 된다는 것만 의미하지는 않는다. 그는 개념이나 관계 중에도 논리학의 연구 주제가 있다는 것을 인정하지만, 그런 것까지 논리적 대상으로 간주하지는 않는다. 논리적 대상은 함수적 표현이나 술어의 지시체가 아니라 단칭용어의 지시체로서 대상에 포함된다. 그는 자기 동일성 개념은 논리적 개념에 포함시킨 반면, 대상으로서 수 4는 논리적 대상에 포함시켰다. 이런 뜻에서 논리적 대상들을 인정하는 것은 논리학이 고유한 대상 영역을 가지고 있음을 인정하는 것이다. 이처럼 그가 논리학이 고유한 대상들을 가진다고 생각했다면, 논리적 대상들과 그 밖의 대상들을 구별해 주는 특징은 무엇인가? 그것은 당연히 논리학과 다른 과학의 차이와 연관되어 있을 것이다. 그러므로 우선 그가 논리학과 다른 과학이 어떤 점에서 다르다고 생각했는지 살펴볼 필요가 있다.
--- 「1부, 3장_ 추상 대상과 논리적 대상」 중에서

증명이 왜 명제의 타당성 범위를 확립해 주는가? 이것은 프레게가 염두에 두는 증명의 또 다른 목적과 관련되어 있다. 우리는 어떤 명제가 참이라는 것을 알게 됨으로써 그것이 타당성을 갖는다는 것, 즉 적용 가능하다는 것을 확신할 수 있다. 하지만 우리는 그것만으로 그 명제의 타당성 범위가 어디까지 미치는지 알 수가 없다. 반면 어떤 명제가 무슨 근거에서 참인지 아는 것은 그것이 갖는 타당성의 범위를 아는 것을 포함한다. 따라서 우리는 주어진 명제가 어떤 종류의 증거를 갖는지 알게 될 때만, 즉 그것이 갖는 증거가 논리적인 것인지, 직관적인 것인지, 아니면 경험적인 것인지 결정할 때만 그것의 타당성 범위에 관해 알 수 있다. 간단히 말해 프레게의 생각은 진리의 인식론적 본성이 그것의 타당성 범위를 결정한다는 것이다. 그러므로 어떤 명제가 사고 가능한 모든 영역에서 타당한 것처럼 보일지라도, 그것의 진리가 직관에 의존해서 정당화된다면 직관 가능한 것의 영역에서만 타당한 것으로 간주된다.
--- 「1부, 4장_ 프레게 논리주의에서 논리적 진리와 분석적 진리」 중에서

메타이론 불가능론자들은 프레게나 러셀의 논리주의 전통에서는 형식화된 이론으로서 대상이론은 체계화되었으나 메타적 관점의 의미론적 논의는 없었던 데 반해, 논리대수나 초기 모형론에서는 메타적 관점의 의미론적 논의는 있었으나 형식화된 이론으로서 대상이론은 체계화되지 않았다고 주장한다. 그들은 후대의 괴델, 타르스키 등의 메타논리 연구는 바로 형식화된 이론에 대한 논리주의의 견해와 초기 모형론의 메타적 관점을 결합한 데서 가능했다고 본다. 논리주의 전통의 논리관에서 메타적 관점의 논의가 가능하지 않았다는 그들의 주장은 결국 20세기 초반 논리학사에 대한 평가의 일환인 셈이다. 나는 논리주의 전통의 논리관과 논리대수나 모형론적 전통의 논리관이 다르다는 것 그리고 후대의 메타이론적 논의가 크게 보아서 이 두 전통의 결합에 의해 발전되었다는 것을 부정하지 않는다. 하지만 논리주의 전통에 메타적 관점의 의미론적 논의가 없고 초기 모형론에는 형식화된 이론이 없었다는 식의 묘사는 20세기 초 논리학사의 심각한 왜곡이라고 생각한다. 나의 논의에 따르면 도리어 후대의 메타이론은 프레게 같은 논리주의자들로부터 발전된 유형론적 메타이론과 집합론을 배경 이론으로 삼는 모형론적 메타이론의 상호 영향의 결과로 간주되어야 한다.
--- 「2부, 6장_ 프레게 논리 개념과 메타이론적 관점」 중에서

우리 논의를 위해 중요한 사실은 프레게는 바로 실수이론은 논리학의 한 분과라고 생각한다는 것이다. 그는 논리학의 공리들로부터 실수들의 동일성 원리를 증명할 수 있다고 생각하며, 이 원리로부터 실수들의 존재를 논리적 추론 원리에 의해 연역해 낼 수 있다고 생각한다. 이런 뜻에서도 실수이론은 유클리드 기하학과 다른 과학이다. 유클리드 기하학의 원초적인 대상들로서 점들, 선들, 면들 등은 논리학에 의해 그 존재를 증명할 수 있는 것이 아니다. 반면 실수이론의 기초적 대상들로서 실수들은 논리학의 공리들로부터 논리적 추론 원리만 이용해서 그 존재를 증명할 수 있는 논리적 대상들이다. 프레게의 이런 신념을 고려할 때 그는 힐버트의 메타이론적 증명을 실수들이 논리적 대상이라는 사실에 근거해서 고차 논리적 관계들 사이의 무모순성 및 독립성을 보이고자 하는 일로 보았을 가능성이 아주 높다. 그렇다면 프레게는 힐버트의 메타이론을 그가 산수에 대해 수행했던 논리적 연구를 기하학에서 유래한 논리적 구조들에까지 확대 적용한 것으로 간주했을 가능성이 높다.
--- 「2부, 8장_ 프레게와 힐버트 - 메타이론적 증명」 중에서

새로운 개념의 도입이야말로 수학을 포함한 과학 일반의 생산성 있는 발전의 원천이라는 것이 데데킨트의 오랜 신념인 셈이다. ‘단순 무한체계’ 개념처럼 자연수이론의 토대가 되는 개념이나 ‘완전 배열체’ 개념처럼 실수이론의 토대가 되는 개념은 틀림없이 그에게 그런 생산성 있는 발전의 대표적인 원천으로 간주되었을 것이다. 그런데 그런 개념의 도입은 어떤 뜻에서 생산적인가? 데데킨트는 그 이유를 바로 이전의 개념으로는 쉽게 다룰 수 없었던 복잡한 현상들을 쉽게 설명할 수 있다는 데서 찾는다.
--- 「2부, 11장_ 데데킨트 - 공리적 방법과 논리주의」 중에서

데데킨트는 힐버트와 마찬가지로 그의 자연수 이론을 수많은 내용적 이론을 적용 사례로 갖는 존재적 공리이론으로 간주하였다. 그리고 데데킨트는 자연수이론을 단순 무한체계에 대한 명시적인 구조적 정의로 제시하였다. 반면 초기의 힐버트는 데데킨트와 달리 그의 기하학의 공리조건들이 기하학의 기본용어들을 정의한다고 간주했지만, 그의 공리적 조건들을 이용하여 내용적 기하학이 다루는 체계에 대한 구조적 정의를 제시하는 일은 어렵지 않게 수행할 수 있다. 그리고 데데킨트는 처음에는 단순 무한체계들이 갖는 특징 중에서 서로 다르게 갖는 특징은 배제하고 공유하는 특징들만을 갖는 특수한 종류의 대상들로 구성된 체계를 얻을 수 있고, 그런 체계의 원소들을 자연수로 간주하는 견해를 고려하였다. 그러나 그런 체계는 존재적 공리이론으로서 자연수론이 그 사례가 되는 특수한 내용적 이론과 달리 갖고 있는 고차원의 보편적 특징과 어울리지 않는다고 생각하였다.
--- 「2부, 12장_ 데데킨트 - 논리적 추상화와 메타이론」 중에서

힐버트는 데데킨트의 집합론 및 대응이론을 이어받았고, 데데킨트의 고차원의 존재적 공리이론에 대한 메타이론적 연구를 이어받았다. 그는 그 방법을 기존의 다른 사람은 시도해 보지 않은 기하학 분야에 적용하였다. 힐버트의 기하학은 수많은 내용적 기하학을 거느린 고차원의 논리적 관계 이론이다. 그는 데데킨트보다 한 단계 더 나아가서 공리적 조건들이 달라짐에 따라 서로 다른 고차원의 논리적 관계 이론들이 기하학 분야에서 가능하다는 것을 보여주었다. 이 점에서 힐버트는 데데킨트 방법론을 확장하였을 뿐 아니라 고단계 논리학의 영역을 획기적으로 확장하였다.