문제를 못 풀었다고 자책하는 심리 이면에는 수학을 경쟁으로 대하는 태도가 있습니다. 수학을 지능을 평가하는 수단으로 받아들이는 것입니다. 이러한 태도는 지속 가능하지 않을 뿐더러, 수학에서 깊이 생각하는 즐거움을 느끼지 못하게 하고 실패에 대한 두려움을 안깁니다. 그리고 두려움이야말로 성장을 가로막는 가장 큰 장애물입니다. _p.23 〈자명한 사실들〉

만약 제가 다섯 명에게 수학을 가르치고, 다섯 명이 각자 또 다른 다섯 명에게 수학을 가르치는 과정이 반복된다면, n단계 때 저로부터 시작된 영향을 받은 사람의 수는 다음과 같습니다. 5 + 5²+ 5³+ ... = 5(5ⁿ- 1) / 4 이것을 ‘지수적 성장’이라고 부릅니다. 지수적 성장은 매우 빠르게 증가합니다. 단 여섯 단계만 거치면 우변의 수는 대략 4천 명이 되고, 열다섯 단계를 거치면 지구의 전 인구수를 넘습니다. _p.47~48 〈좌절을 삼키며〉

이 사례는 수학이 어떻게 전개되는지를 보여 주는 전형이라고 할 수 있습니다. 우선 직관을 통해 특정 개념을 포착합니다. 직관으로 포착된 개념은 강한 호소력을 가지지만, 논리적인 사고를 전개하기에는 아직 흐릿한 단계입니다. 따라서 직관에 주어진 개념을 명료한 언어로 다듬는 과정이 필요합니다. 이 과정을 완수하면 정의를 바탕으로 논리를 전개하는 일에 착수할 수 있습니다. _p.61~62 〈말의 유희〉

오해의 여지 없이 의미를 전달하는 언어는 공허한 기계의 언어에 지나지 않습니다. 두 컴퓨터가 오류 없이 정보를 통신할 수 있는 이유는 그들의 언어가 0과 1로 이루어진 문자열에 불과하기 때문입니다. 모든 데이터를 표현할 수 있지만 동시에 아무것도 표현하지 못하는 언어입니다. 풀 내음의 향긋함과 사탕의 달콤함을 알려 주는 말, 외로움과 아름다움에 대해 고백하는 말, 정의감과 열정으로 가득한 말, 사랑을 전하는 말이 소독된 언어입니다. _p.81~82 〈장미의 언어〉

정사각형의 회전변환이나 마름모의 대칭변환과 같이 네 가지 요소가 서로 조합하는 상황은 무수히 다양하지만, 이들이 이루는 구조에만 집중한다면 모두 K4와 Z4로 분류 가능합니다. 이것이 푸앵카레가 “수학은 다른 대상에 같은 이름을 붙이는 예술”이라고 말한 이유입니다. 사실 우리는 수학을 처음 배우는 순간부터 이 예술을 접했습니다. 왜냐하면 ‘수’라는 개념부터가 이 예술의 결과물이기 때문입니다. _p.95~96 〈다름 너머의 같음〉

제2불완전성 정리(수학에 모순이 없다면, 수학의 무모순성은 증명 불가능하다)는 힐베르트의 꿈을 와해했습니다. 정말로 수학에 모순이 없더라도 그 사실을 증명하는 일은 불가능합니다. 따라서 수학에 모순이 있는지 없는지는 결코 확실히 알 수 없습니다. 언젠가는 2 = 1의 증명이 발견될지 모릅니다. 수학적으로 아무런 오류가 없는 2 = 1의 증명, 그렇기에 수학 그 자체의 오류를 증명하는 증명이 발견될지도 모릅니다. 그러므로 수학에 모순이 없다는 믿음은 적어도 순수하게 논리적인 관점에서는 ‘믿음의 도약’입니다. 그 믿음에 대한 최종적인 근거는 마련할 수 없습니다. _p.119 〈미완의 우화〉

세상에는 아름다운 것이 원망스러울 정도로 많이 있습니다. 그들은 저마다의 방식으로 엄격한 기준을 제시하고, 좌절을 안기고, 희생을 요구합니다. 그러나 모든 고통에도 불구하고 끊임없이 그 주위를 맴돌 수밖에 없는 이유는 단지 그것이 아름답기 때문이겠지요. 저는 어렸을 적 피아노를 포기하고 수학의 길로 들어섰습니다. 만약 과거의 어떤 우연이 다르게 일어났더라면 수학을 포기하고 피아노의 길로 들어섰을지도 모릅니다. 그랬다면 제 손끝으로부터는 투명하고 단단한 소리가 울렸겠지만 소리의 아름다움에 준하는 다른 어떤 아름다움을 상실해야만 했을 것입니다. 갈루아 이론, 자이페르트-판 캄펀 정리, 요네다 보조정리, 연속체 가설과 같은 것들의 아름다움을. _p.132~133 〈상실을 바치는 소리〉

지금도 저는 엉덩이 힘이 좋은 편이라고 말하지는 못하겠습니다. 문제를 풀다가 막힐 때면 끙끙대다가 이내 자리에서 일어납니다. 이어폰을 귀에 꽂고 산책을 나섭니다. 어차피 문제는 언제까지나 나를 기다려 줄 것입니다. 그러니 당장 답이 눈에 보이지 않는다고 하더라도 초조해 할 필요가 없다는 사실을 이제는 압니다. 답에 도달하는 그 모든 과정에서 오는 즐거움이야말로 선생님께서 내게 남겨 주신 유산이라는 사실 또한. _p.145~146 〈수화기 너머의 바다〉

실수의 세계는 언어의 세계를 가뿐히 압도할 정도로 훨씬 큽니다. 여기서 말하는 “훨씬”은 과장이 아닙니다. 여러분이 0과 1 사이에서 임의의 실수를 고를 때 그 수가 언어로 표현 가능할 확률은 ‘정확히 0’입니다. 그리고 이 사실에서 우리는 글쓰기에 본질적인 실패의 원리를 읽어 낼 수 있습니다. 수직선 위의 점조차 언어로 포착할 수 없다면 한 사람의 마음, 어느 날의 기분, 사람 사이의 미묘한 떨림은 얼마나 쉽게 언어의 손아귀를 빠져나갈까요. _p.156 〈마침표는 언제나 실패〉

누적 위계는 수학 전체를 아우릅니다. 어떤 수학적 대상을 떠올리든 그 대상은 누적 위계의 어딘가에서 나타납니다. 따라서 누적 위계를 ‘우주’라고 부르기도 합니다. 문자 그대로 누적 위계는 수학의 우주이기 때문입니다. 그러나 실제 우주와는 달리 수학의 우주는 물리적으로 존재하는 것이 아닙니다. 그것은 아무것도 존재하지 않는 세계에서 무한한 수를 생성해야 하는 역설의 끝자락에서 발견한 지성의 우주입니다. 인간의 지성은 공허뿐인 세계에서도 공허 자체를 하나의 존재로 불러낼 수 있는 가능성을 지닙니다. 그 가능성으로부터 모든 수학이 탄생합니다. _p.170~171 〈무無로부터의 편지〉

작은 세상 네트워크는 이 경향성에 반하는 네트워크입니다. 작은 세상 네트워크는 높은 군집성과 짧은 평균 경로를 가지는데, 이것은 허브 정점의 존재로 인해 가능합니다. ‘허브 정점’은 다른 정점들을 향해 무작위적으로 간선을 뻗는 정점입니다. 허브 정점의 매개를 통하면 서로 다른 두 군집에 속한 정점들도 짧은 경로로 이어질 수 있기 때문에, 높은 군집성과 짧은 평균 경로라는 특징이 공존할 수 있습니다. _p.188 〈부록〉

최적화 문제는 기하학 문제로 이해할 수도 있습니다. 가능한 모든 전략의 영역이 주어졌을 때, 각각의 제한 조건은 전체 영역에서 허용되는 영역을 일부로 제한합니다. 그렇다면 최적의 전략을 구하는 일은 모든 제한 영역이 겹치는 영역에서의 특이점을 찾는 일이 됩니다. (중략) 제한 영역이 볼록한 최적화 문제를 다루는 ‘볼록 최적화’라는 분야가 별도로 있습니다. 아마 독자 여러분 모두가 이미 볼록 최적화 이론의 영향을 받았을 것입니다. 인공지능의 상당 요소가 볼록 최적화를 기반으로 한 기술이기 때문입니다. _p.191~192 〈부록〉

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