이 책에 나오는 주요 수학 개념과 등장인물

자연수: 할아버지와 수를 세는 알렉스. 무한한 수에도 이름이 있을까?
실제적 무한: 수학자들은 무한한 것이 정말 존재한다고 상상할 수 있다!
승수표기방식: “일, 십, 백 천 … 조.” 그 다음은?
아르키메데스: 아르키메데스는 지구 전체를 채울 수 있는 모래의 수를 계산했다.
가우스: 1부터 100까지 더하는 문제를 눈 깜짝할 사이에 해결한 수학 천재.
삼각수: 한 면이 구슬 7개로 된 정삼각형은 1부터 7까지 더한 만큼의 구슬로 되어 있다.
부분집합: 부분집합의 개수를 알아내는 공식은 무한을 적용해도 가능하다.
힐베르트의 호텔: 무한하게 방이 많은 호텔에 손님이 새로 오면 어떤 일이 벌어질까?
유한집합: 셀 수 있는 원소로 이뤄진 집합. 물감을 섞은 다양한 색은 셀 수 없다.
수직선과 분수: 수직선의 수 사이에 분수가 존재한다. 분수는 무한을 밝히는 열쇠다.
순환소수: 소수점 이하의 수가 일정하게 끊임없이 반복한다.
유리수와 무리수: 어쨌거나 분수로 표현할 수 있으면 유리수. 아니면 무리수.
수렴과 극한점: 0과 1 사이를 계속 쪼개더라도 결코 0에 도달하지는 못한다.
게오르크 칸토어: 자연수 집합보다 강력한(더 무한한) 소수의 집합을 발견한 수학자.
알레프: 무한한 수에도 다양한 종류가 있다! 히브리 알파벳 알레프를 써서 표기한다.
제논의 역설: 아킬레스와 거북이의 경주. 아킬레스는 영원히 거북이를 따라잡지 못할까.
피타고라스의 정리: 무한한 것은 수에만 존재하지 않는다. 도형에도 존재한다.
이밖에도 적분방정식, 유클리드 기하학, 투영기하학, 장 빅토르 퐁슬레 등 수학의 다양 한 개념과 인물이 등장한다.

1장 할아버지 집에 찾아온 알렉스는 병을 하나 발견한다. 그 병에는 병과 난쟁이가 그려진 상표가 붙어 있다. 그리고 그 상표 안에 병과 난쟁이가 그려진 상표가 또 있고 그 상표 안에 또 병과 난쟁이가 그려진 상표가 있다. 상상 속에서 이 난쟁이와 병은 무한하게 계속된다. 수학자 할아버지와 알렉스는 이 병으로 무한에 대한 이야기를 시작한다. 무한하게 넓은 공간, 무한하게 큰 수가 있을까? 무한한 것도 수일까?

2장 할아버지와 큰 수를 본격적으로 세기 시작한 알렉스. 승수표기방식도 배우고 수학자들이 사용하는 약자도 접한다. 여기서 할아버지가 들려준 재밌는 이야기 하나. 옛날 인도의 폭군에게 사형을 선고받은 현자가 체스를 가르쳐준다. 왕은 체스가 너무 좋아 현자의 소원 하나를 말하라고 했는데 막상 소원은 소박해 보였다. 체스 각 칸에 앞 칸보다 두 배의 밀을 놓아달라는 것. 이를 증명하려고 드디어 할아버지와 알렉스가 첫 번째 실험을 시작한다.

3장 무한을 무엇이라고 설명할 수 있을까? 이제 할아버지와 알렉스는 무한의 개념을 찾아 나선다. 가우스가 1부터 100까지 순식간에 더한 이야기, ‘하노이의 탑’이라는 동전 쌓기 놀이, 부분집합의 개수를 알 수 있는 공식 등 무한한 수를 적용해도 답을 알아낼 수 있는 수학 공식을 만나면서 알렉스는 무한에 대해 모두 이해했다고 생각한다. 하지만 할아버지는 요지경 같은 무한대의 또 다른 모습을 알려준다.

4장 무한대의 요지경 같은 성격은 요지경 호텔에서 엿볼 수 있다. 무한하게 방이 많은 호텔은 ‘무한하다＋무한하다＝무한하다’라는 사실을 일깨워준다. 무용 선생님은 남학생과 여학생을 줄 세워 양쪽이 같은 수인지 센다. 짝수 집합이 자연수의 집합과 크기가 같은 것은 그 때문이다. 하지만 무한집합은 ‘∞-∞＝∞’인 경우도 성립한다. 수직선의 분수는 더 많은 것을 이야기해준다.

5장, 6장 수직선의 0과 1 사이에, 무한하게 많은 분수가 존재한다. 할아버지는 알렉스에게 순환소수를 분수로 계산하는 방법, 분수 사이에 꼭 다른 분수가 있는 이유를 알려주고 유리수와 무리수에 이어 제곱수도 가르쳐준다. 그런데 제곱근을 통해 무한한 것보다 큰 무한이 있다는 것을 발견한다. 무한한 수 사이에도 더 크고 강력한 수가 있는 것이다.

7장 아이스크림 가게에서 아이스크림을 먹던 한 남자가 주머니에 돈이 한 푼도 없다는 것을 깨달았다. 어떻게 되었을까? 그는 두 알의 아이스크림을 한 알, 반 알, 1/4알, 이런 식으로 계속 먹었다. 이것은 조화수열이다. 그 합은…무한하게 크다! 할아버지는 내친 김에 등비수열과 수렴, 발산까지 알렉스에게 설명해준다.

8장, 9장 삼각형은 무한을 설명하는 좋은 도구다. 피타고라스의 정리가 대표적인 경우다. 할아버지는 이 정리를 통해 원의 둘레와 원의 면적을 구하면서 파이를 설명한다. 그리고 이야기는 드디어 무한대에 이르는 점을 표시할 수 있는 좌표와 포물선에 이른다. 무한하게 많은 직사각형의 면적을 계산하는 적분방정식의 개념까지 배운 것이다. 세계 인구의 증가 추세도 이런 수학 공식에 따라 무한하게 많은 단계를 고려해서 얻을 수 있다.

10장, 11장 할아버지와 알렉스의 무한 이야기는 어느새 ‘기하학’과 ‘차원’의 세계로 넘어간다. 눈이나 카메라로 보는 기하학은 실제의 기하학과 다르다. 그래서 할아버지는 유클리드 기하학과 투영기하학, 투시도법, 소실점, 입체투영법, 원의 반전, 지구공동설을 설명해준다. 그리고 평면나라, 선의 나라, 공간나라, 그리고 4차원에서 벌어지는 이야기는 우리의 상상력을 자극한다.

12, 13장 수직선 위의 수처럼 자연에 있는 사물도 무한하게 빽빽할까? 이제 이야기는 점점 철학, 물리에 가까워진다. 할아버지는 원자, 빛의 파장 등을 설명한다. 그러다가 양자역학의 법칙 중 하나인 불확정성의 원리에까지 이른다. 또한 음악과 수학을 주제로 이야기하면서 진동의 음높이 계산에 미적분함수가 필요하다고 설명한다. 무한의 마지막 이야기는 무한하게 큰 우주다. 허블의 법칙, 빅뱅 등의 이론이 있지만 아직은 상상의 세계에 속한 무한한 우주에 대해 할아버지와 알렉스가 함께 상상의 나래를 펼친다.