초등수학에서 고등수학으로 넘어가는 관문에 해당하는 내용이 음수이다. 방정식과 함수를 자유롭게 다루기 위해서는 음수를 능숙하게 사용해야 한다. 1장에서는 수 체계를 혁신하여 음수가 수학적 세계 안으로 들어오는 과정을 소개한다. 교과과정에서는 중1 정도에 해당하지만 내용적으로는 고등학교 과정을 뛰어넘는다.
우리는 음수를 생활 속에서 편안하게 받아들인다. 지하 1층에 주차하고 온도가 영하 3도로 떨어졌음에도 영화를 보러 간다. 수학이 시대와 함께 발전해야 한다고 생각한다면 음수를 늦게 공부할 이유가 없다. 초4 정도면 충분하다. 초4~중2 정도에 산만하게 들어있는 대부분의 내용을 그냥 점핑하기 바란다.
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2장에서는 지수로그루트를 다룬다. 이들 모두는 본질적으로 지수이다. 수는 시대에 따라 발전하는 것이다. 시대가 발전한 만큼 곱셈이나 분수셈 같은 것에 과도한 의미를 부여할 필요가 없다.
필자의 경험에 따르면 분수보다 지수로그루트가 훨씬 쉽다. 초등 4학년 정도면 충분히 할 수 있다. 분수 계산이나 분수를 소수로 바꾸는 작업 등에서 쓸데없이 시간을 지체하지 말고 지수를 중심으로 세상을 보기 바란다. 그것이 현대적인 추세에도 맞다.
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중고등 수학에서 가장 중요한 것이 함수와 미적분이다. 중요한 포인트를 지적하면 다음과 같다.
첫째. 방정식은 구구단처럼 쿨하게 숙련을 위주로 처리하고 다양한 함수를 미적분과 연결시켜야 한다. 현행 교과의 최대 문제점은 2차 함수에 과도한 비중을 둔다는 점, 교과 내용에서 2차 방정식과 이차함수의 디테일한 응용이 너무 많다는 점이다.
경험에 따르면 2차 방정식이나 2차 함수를 다루는데 그렇게 많은 시간이 걸리지 않는다. 따라서 다소 부족하더라도 2차 방정식이나 2차 함수 정도에서 너무 힘을 빼지 말고 바로 미적분을 공부하기 바란다.
2차 방정식이나 2차 함수 등에서 미흡한 부분이 있을 수 있다. 그러나 그것은 시간이 해결해줄 일이거나 연습량으로 커버할 문제로 특별한 의미를 부여할 이유가 없다. 중고등 수학 전체에서 미적분이 갖고 있는 비중(거의 절대적이다)을 고려하면 2차 방정식이나 2차 함수에서 시간을 허비하는 것은 대세를 잃는 것이다.
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5장에서는 대체로 문과 미적분을 다룬다. 경험에 따르면 1~4장(음수. 지수로그루트, 방정식, 함수)까지는 초등 고학년~중등 초학년이면 무리 없이 이해한다.
반면 미분에서 진입장벽이 있다. 미분에서 나타나는 진입장벽은 미분에 대한 교과 수학의 설명이 너무 추상적이고 일반적이기 때문이다. 따라서 필자는 다항함수의 미적분을 최대한 운동과 연관지어 직관적으로 설명하고자 했다.
함수와 미적분은 긴밀한 연관이 있다. 함수의 일종인 2차 함수의 그래프를 그릴 때도 당연히 미분을 사용하는 것이 옳다. 4장을 통해 2차함수를 미분을 사용해 그리는 법을 익히기 바란다.