수학과 세계사가 만나면 어떤 일이 벌어질까?

소설 『삼국지연의』의 적벽대전에서 제갈량이 풀단 실은 배로 화살 10만 개를 얻은
이야기가 수학적으로 허구일 수밖에 없는 이유

수학과 세계사가 만나면 어떤 일이 벌어질까? 그 콜라보가 어떤 환상적인 명장면을 만들어낼지 궁금하다면 이 책 『세계사가 재미있어지는 20가지 수학 이야기』를 펼쳐보면 된다. 그 첫 장면을 너무도 유명한 나관중의 『삼국지연의』에 나오는 적벽대전의 ‘초선차전(草船借箭)’ 일화로부터 시작해보자. 제갈량이 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군에게서 화살 10만 개를 얻어낸 그 일화 말이다. 적벽대전의 ‘초선차전’ 일화에는 어떤 수학적 원리와 비밀이 숨어 있을까? 중국을 대표하는 저명한 수학자인 저자는 풍부한 인문학적 소양을 발휘하여 세계사의 강에 자신의 주 무기인 수학이라는 그물을 던져 통찰력의 물고기를 낚아 올린다. 그는 우리가 당연하게 받아들이는 ‘초선차전’ 일화, 즉 제갈량이 적벽대전 전날 밤 풀단 실은 배 스무 척으로 조조군의 영채를 기습하여 기적적으로 화살 10만 대를 얻어낸 사건이 과연 수학적으로 가능한 일인지 치밀하게 분석한다. 차분히 따라가 보자.

제갈량이 활략하던 후한 말기, 이른바 명궁이 아닌 일반 병사들의 활쏘기 실력은 어느 정도였을까? 그들이 한 번에 목표물을 명중할 확률은 대략 열 번에 한 번, 즉 0.1을 넘지 않았다고 한다. 그야말로 십중팔구 목표물을 맞히지 못하고 빗나가게 된다는 의미다. 수학적으로, 일반 병사들이 쏜 화살이 목표물을 정확히 맞힐 확률은 0.1이고 실패할 확률은 0.9다. 두 번 연속 실패할 확률은 0.9×0.9=0.81이다. 이런 식으로 유추해보면 100번 모두 실패할 확률은 0.9(100)≒0.003이고 최소한 한 번 명중할 확률은 1-0.003=99.997퍼센트다. 100번 중에서 목표물을 최소 세 번 명중해야 하는 경우라도 그 확률은 98.41퍼센트로 상당히 높다. 이는 무엇을 의미할까? 결국 명궁 한 명이 많은 양의 화살을 쏘는 것보다 일반 병사 100명이 일제히 화살을 쏘게 하는 편이 더 효과적이라는 얘기다.

이제 이야기의 심장부인 ‘초선차전’ 사건의 한가운데로 들어가 보자. 적벽대전이 벌어지기 전날 밤, 제갈량은 풀단 실은 배 스무 척을 안개가 자욱한 강을 따라 조조군 영채 가까이 보냈다. 그러고는 군졸들에게 북을 치며 소란을 피우라고 명했다. 조조군은 안개 속에서 함성이 들려오는 방향으로 화살을 퍼부었다. 명중할 확률은 0.1에도 미치지 못했을 테고 중간에 다른 쪽 병사들이 활을 쏠 수 있도록 배를 백팔십도 돌려야 했다. 명중할 확률을 최대로 잡아 0.1이라고 가정해도 화살을 100만 개 이상 발사해야 한다. 당시 조조군 궁수는 1만 명 정도였으니 한 사람당 100발 넘게 쏴야 한다는 계산이 나오는데, 전문가들은 당시 화살통에 화살이 20~30개 들어갔으니 한 사람이 100발을 쏘는 건 불가능하다고 분석했다. 이는 한마디로 제갈량의 ‘초선차전’ 이야기는 허구에 가깝다는 의미다.

고대 인도의 재상 다히르는 자신이 체스 게임을 발명한 대가로 왕이
포상을 내리겠다고 하자 왜 매 칸마다 ‘제곱 승식’의 밀알을 요구했을까?

고대 인도의 역사의 한 페이지에도 재미있는 수학의 원리가 숨어 있다. 고대 인도의 왕 시람은 재상 다히르가 발명한 체스 게임을 배우자마자 완전히 매료되어 그 공로로 다히르에게 포상을 내리겠다고 했다. 처음에 겸양의 미덕을 보이며 정중히 사양하던 다히르는 잠시 생각하더니 말했다. “폐하의 뜻이 정 그러하시다면 체스 판에 밀알을 좀 놓아주시지요.” 첫 번째 칸에는 1알, 두 번째 칸에는 2알, 세 번째 칸에는 4알 하는 방식으로 제곱 승식에 따라 밀알을 놓아달라는 요구였다. 왕은 그깟 밀이 뭐라고 상으로 달라는 거냐며 좀 더 큰 상을 말해보라고 요구했으나 재상은 겸손하게 그거면 충분하다고 말했다.

체스 판에는 칸이 64(8×8)개 있다. 한마디 덧붙이자면, 모든 체스 말은 장기 말처럼 교차점에 두는 것이 아니라 칸 안에 둔다. 이 등비급수에 따르면 20번째 칸에는 밀 한 포대를 놓아야 한다. 60번째 칸까지 가면 인도 전체의 밀을 다 가져와도 부족하고 64번째 칸에는 2의 63승에 해당하는 밀알을 놓아야 한다. 즉 18,446,744,073,709,551,615알이 필요하다. 결국 재상 다히르가 요구한 포상은 전 세계가 2,000년 동안 생산해야 하는 식량으로, 그야말로 상상을 초월하는 양이다.

이 이야기는 수학의 ‘기하급수적 성장’ 개념을 보여주는데, 이는 18세기 영국 경제학자 토머스 맬서스(Thomas Robert Malthus)가 제시한 인구론의 초석이기도 하다. 인구론은 주로 두 공리(公理)와 두 급수로 이뤄진다. 음식은 인류가 생존하는 데 필수고 성욕은 필연적이다. 이 둘이 현 상태를 유지하게 하는 두 공리다. 또 인구는 제약이 없을 경우 기하급수적으로 늘어나고 생산수단은 산술급수적으로 늘어난다는 것이 두 급수다. 인도 왕과 체스 이야기에서 가능한 결말은 재상이 계속 보상을 독촉할까 두려웠던 왕이 구실을 만들어 아예 그를 죽이는 것이다. 애초에 왕이 속임수에 빠진 원인은 그가 추상적인 숫자 연산, 특히 기하급수를 확실히 인지하지 못했고 막강한 권력이 그를 오만에 빠뜨려 눈에 보이는 게 없도록 만들었기 때문이다.

물소 가죽 한 장으로 원주민에게 나라를 세울 수 있을 만큼의 땅을 얻어낸
디도 여왕 일화에 담긴 수학적 원리는?

수학 분야의 한 기원이 카르타고의 시조 디도 여왕과 관련되어 있다는 사실을 아는가? 그리스 전설에 따르면 처음 카르타고에 발을 디딘 디도 여왕은 물소 가죽을 한 장 얻었다고 한다. 원주민은 그녀에게 물소 가죽으로 둘러싼 면적만큼의 땅을 주겠다고 약속했다. 현명한 여왕은 수행원들에게 명령해 물소 가죽을 가늘고 길게 잘라 넓은 면적을 둘러싸게 했고, 그 결과 반원을 얻었다. 만약 그 땅이 내륙 평원에 있었다면 이는 당연히 잘못된 판단이었을 것이다. 같은 길이로 원을 두를 경우 두른 면적은 반드시 반원보다 더 크기 때문이다. 이는 원의 면적과 원주만 계산해도 증명할 수 있다. 이것이 바로 변분법(變分法)의 기원 이야기다. 이 이야기의 또 다른 버전은 다음과 같다. 지중해 키프로스의 디도 여왕은 남편이 자신의 남동생 피그말리온에게 살해당한 후 수행원들과 함께 서쪽에 있는 아프리카 해안으로 도망쳤다. 여왕은 현지 추장에게 토지를 구매하고 그곳에 카르타고를 세웠다. 여왕과 추장은 토지구매합의서를 다음과 같이 체결했다.

“도시 크기는 한 사람이 하루 동안 쟁기질을 해서 낸 도랑으로 두를 수 있는 만큼의 면적이다.” 흥미롭게도 저자가 실제로 현지에 가서 확인해보니 지중해 해변에 카르타고 고성이 있었는데 박물관에 전시한 지형도 외형이 확실히 ‘반원’에 가까웠다고 한다. 뉴턴과 라이프니츠가 미적분을 발명한 이후 미적분은 끊임없이 발전해 다양하면서도 완전해졌다. 특히 함수 개념 심화로 미적분은 다른 분야의 학자들이 빠르고 광범위하게 응용했고 새로운 수학 분야를 형성했다. 심지어 미적분은 인문과 사회과학 분야에도 스며들었다. 그중 두드러진 현상은 수학과 역학의 관계가 그 어느 때보다 밀접해졌다는 점이다. 당시 수학자들은 대부분 역학자이기도 했다. 고대 동서양에 수학자이자 천문학자인 사람이 많았던 것처럼 말이다.

새롭게 떠오르는 수학 분야에는 상미분방정식, 편미분방정식, 변분법, 미분기하, 대수방정식 등이 있다. 많은 수학자가 이들 수학 분야를 확립하고 그 위에 미적분학이 더해져 해석학이라는 수학 분야가 등장했다. 해석학은 대수학, 기하학과 함께 근대 수학의 3대 학문으로 자리를 잡았으며 나머지 두 학문보다 더 발달했다. 변분법 탄생은 다른 수학 분야에 비해 더욱 극적이다. 언뜻 수학 분야가 아닌 것처럼 보이지만 본래의 뜻은 ‘변량의 미적분’으로 함수 변량을 연구하는 수학이다. 일반 미적분은 수의 변량을 처리한다. 현재 변분법의 응용 범위는 비누 거품부터 상대론, 측지선, 극소곡면을 거쳐 등주 문제에 이르기까지 매우 광범위하다. 등주 문제는 디도 여왕의 면적 최대화 문제를 포함한다.

디도 여왕의 토지구획 문제 외에 최속강하선 문제도 재미있다. 이는 동일한 평면이나 동일한 수직선상에 있지 않은 두 점 사이의 곡선을 구해 중력이 작용할 때만 질점이 한 점에서 다른 한 점까지 가장 빠른 속도로 미끄러지게 만드는 것이다. 이 문제는 이탈리아 물리학자 갈릴레이가 1630년 처음 제기했는데, 그는 답이 원호(圓弧)라고 잘못 생각했다. 1696년 스위스 수학자 요한 베르누이(Johann Bernoulli, 1667~1748)가 이 문제를 다시 제기했고 공개적으로 해답을 공모하면서 유럽 대수학자들의 주목을 끌었다. 뉴턴, 라이프니츠, 요한의 형 야코프 등이 여기에 참여했다. 최속강하선 문제는 특수함수의 극값을 구하는 문제로 귀결할 수 있다. 정답은 파선(Cycloid)이다. 원이 직선을 따라 회전할 때 원 위의 한 고정점이 지나는 궤적을 ‘파선’이라고 부른다. 외형이 원호나 포물선의 일부처럼 생겨 갈릴레이 같은 대가의 실수가 전혀 이상하게 보이지 않는다.

수학 세계사에 이토록 흥미진진한 스토리가?!

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- 물소 가죽 한 장으로 원주민에게 나라(카르타고)를 세울 수 있을 만큼의 땅을 얻어낸 디도 여왕 일화에 담긴 수학적 원리는?

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