사람들은 극소수만 수학적 재능을 타고난다고 생각한다. 수학은 그런 선천적 능력이 없으면 결코 이해할 수 없다고 말한다. 스스로의 수학적 능력을 평가절하할 뿐만 아니라 자녀에게 그런 인식을 심어 주기도 한다. 이는 정말 근거가 있는 말일까? 그 답을 찾으려면 먼저 수학자란 어떤 사람인지부터 알아야 한다. 언뜻 간단해 보이지만 막상 정의를 내리려고 하면 생각만큼 쉽지 않다. 생물학자는 생명체를 연구한다. 물리학자는 물질의 운동을 연구한다.

화학자는 화학물질을 연구한다. 천문학자는 천체를 연구한다. 지질학자는 암석을 연구한다. 이 분야들은 경계가 분명해 명쾌하게 나뉜다. 수학자는 어떨까? 수학자들은 무엇을 연구할까? 대개는 ‘수number를 연구한다’는 답이 자동으로 튀어나올 것이다. 하지만 기하학이나 위상수학처럼 수를 다루지 않는 수학 분야도 있다. 그렇다면 모든 수학자가 공통적으로 연구하는 것은 과연 무엇일까?

답은 바로 패턴pattern, 즉 규칙성이다. 두 개의 홀수를 더하면 항상 짝수가 된다든가 어떤 모양의 다각형이든 외각의 크기의 합을 더하면 항상 360도가 된다든가 파스칼의 삼각형Pascal’s triangle에서 각 줄의 수를 더하면 항상 2의 거듭제곱이 된다는 규칙성 말이다. 중력의 영향을 받는 물체는 항상 원뿔곡선(원, 타원, 포물선, 쌍곡선 등)이라 불리는 곡선 형태를 따른다. 가령 수많은 꽃이 꽃대 끝에 뭉치듯 모여 있어 한 송이 꽃처럼 보이는 두상화頭狀花는 항상 바깥으로 향하는 나선 모양의 기하학적 패턴을 보인다. 수학자들의 관심사를 명쾌하게 딱 잘라 말하기가 어려운 것도 이 때문이다. 이들은 패턴이라면 무엇이든 관심을 보인다. 그리고 세상은 온통 패턴으로 이루어져 있다. 코스모스cosmos가 규칙적이고 질서 정연한 상태를 뜻한다면, 카오스chaos는 무질서하고 불규칙한 상태를 뜻한다.
--- p.14~18

인간의 뇌는 원래 주변 세계의 규칙성을 알아차리도록 설계된 패턴 탐지 기계다. 뇌의 기능과 패턴은 떼려야 뗄 수 없는 관계를 맺고 있다. 예를 들어 보자. 냄새란 무엇일까? 뇌는 특정한 후각적 패턴을 인식해 달콤한 냄새를 맡으면 좋은 기억을, 톡 쏘는 냄새를 맡으면 불쾌한 기억을 떠올리게 한다. 기억은 무엇일까? 뇌는 우리가 처음 본 사람의 얼굴이나 목소리 같은 특정 단서들, 즉 패턴을 탐지하고 나중에 그 사람을 다시 만났을 때 이를 연관시켜 알아보게 한다.

이해력이나 실력이 뛰어나다고 평가받는 사람들은 대개 남들보다 더 효과적으로 패턴을 탐지하는 능력을 갖고 있다. 노련한 의사는 환자의 증상에서 패턴을 찾아내 병을 진단한다. 숙련된 택시 운전사는 곳곳에 있는 모퉁이와 도로의 패턴을 훤히 꿰고 있어 현 위치와 교통 상황을 고려해 목적지에 가장 빨리 도달하는 길을 택한다. 오랫동안 특정 규칙을 꾸준히 반복하면 그 규칙이 몸에 배게 된다. 이를 다른 말로 습관이라고 한다.

인간이 패턴을 탐지하는 데만 뛰어난 재능을 보이는 것은 아니다. 자기만의 패턴을 만들어 내는 것도 즐긴다. 우리는 여기에 일가견이 있는 사람들을 예술가라고 부른다. 음악가 · 조각가 · 화가 · 카메라 감독 등은 모두 패턴을 만들어 내는 창조자들이며, 그런 의미에서 나름대로 수학자들이다. 음악을 들을 때 느끼는 감정이 마치 “자기도 모르게 숫자를 셀 때 느끼는 희열”과 같다고 표현하는 사람도 있다. 사람과 동물의 형상을 만들어 내는 것을 허용하지 않는 이슬람 문화권에서는 기하학적 패턴으로 정교하게 배열한 타일 디자인이 흔하다.

인간은 패턴을 찾아내는 데 너무도 익숙한 나머지 눈에 보이지 않는 패턴까지도 찾아낸다. 논리적인 상관관계가 없는 위약 효과placebo effect, 가짜약을 진짜 약으로 알고 복용했을 때 환자의 믿음으로 실제로 효과가 나타나는 현상나 도박사의 오류gambler’s fallacy, 과거의 사건을 근거로 사건 발생 확률의 패턴을 예측할 수 있다는 잘못된 믿음는 원인과 결과의 패턴을 찾아내려는 인간의 끊임없는 욕망을 보여주는 단적인 예다.
--- p.19

인간이 음악을 만들기 시작한 시기를 따져 보면 인류의 탄생으로 거슬러 올라가지만, 오늘날 우리가 알고 있는 음音은 수학에서 유래했으며 이를 최초로 체계화한 사람은 피타고라스Pythagoras라고 알려져 있다. 그렇다. ‘피타고라스 정리’로 전 세계 학생들을 고통 속에 몰아넣은 그 피타고라스 말이다. 전해지는 이야기는 이렇다. 어느 날 피타고라스가 대장간을 지나가다 두 명의 대장장이가 망치로 모루를 내려치는 모습을 보게 됐다. 크기가 다른 두 모루를 망치로 내려칠 때마다 저마다 다른 소리가 났다. 그 순간 피타고라스는 물체의 크기와 그 물체가 만들어 내는 소리에 수학적 관계가 있다는 것을 알게 됐다. 자유로운 영혼의 소유자인 철학자가 별다른 이유 없이 타인의 소유물을 내리쳐도 그냥 내버려 두는 고대 그리스 사회였던 만큼 그는 대장간 근처에 널브러져 있던 금속 막대들로 곧바로 실험에 나섰고 하나의 막대기를 그 절반 길이의 다른 막대와 맞부딪히면 영롱한 소리를 낸다는 사실을 알아냈다. 하지만 그 이유를 이해하려면 소리가 나는 원리부터 알아야 한다.
--- p.30

우리는 일상 속에서 사랑, 자성磁性 같은 추상적인 개념이나 물리적인 힘을 늘 마주치며, 때로는 예기치 않은 곳에서 맞닥뜨리기도 한다. 그리고 인간은 관련성을 찾아내는 데 타고난 재능이 있다. 다시 말해 인간은 연결고리를 찾아내는 것을 좋아한다. 우리는 겉으로는 동떨어져 보이는 개념들의 연관성을 밝혀내고 서로 다른 현상들이 어떻게 얽혀 있는지를 이해하고 싶어 한다. 겉으로 드러나는 것만 중요시하는 시대에 저마다 다른 것들의 이면을 파고들면 서로 연결돼 있는 경우가 많다는 사실이 어쩐지 위로가 되기도 한다.

내가 수학이 아름답다고 생각하는 이유 중 하나도 바로 이것이다. 버트런드 러셀Bertrand Russell의 말처럼 수학은 “냉철하고도 준엄한” 아름다움을 갖고 있다. 즉, 그 아름다움을 온전히 음미하려면 시간이 걸린다. 하지만 그만큼 노력할 의지가 있으면 우리가 살고 있는 이 놀라운 세계를 더 분명히 이해하게 되는 보상을 얻을 것이다. 수학은 겉으로는 완전히 달라 보이는 현상들이 실제로 얼마나 밀접하게 연관돼 있는지를 깨닫게 해 주는 특유의 힘을 갖고 있다. 서로 다른 것들이 알고 보면 똑같은 원리를 바탕으로 한다는 것을 보여 주는 사례는 흔하다. 그중에서도 내가 자주 드는 예시 하나가 혈관과 번개다. …(중략)… 혈관이 번개와 비슷해 보이는 이유도 둘 다 프랙털 구조이기 때문이다. 이런 구조가 나타나는 배경도 메커니즘도 완전히 다르지만, 사실 혈관과 번개는 둘 다 ‘분배distribution’라는 수학 개념과 관련이 있다.
--- p.39~53

수중에 1달러가 있고 이 돈을 저금하면 매년 100퍼센트의 이자를 주는 복리원금과 이자를 합친 금액에 이자를 매기는 것 예금 상품을 은행에서 권했다고 치자. …(중략)… 최종 원리합계를 보면 2달러에서 한계 없이 늘어나는 것이 아니라 특정한 값으로 수렴한다. 수학에서는 한계치와 같은 이 값을 ‘극한limit’이라고 부른다. 마치 잔액이 더 이상 늘지 못하게 제한limit을 가하는 것처럼 이자 지급 횟수를 무한대로 증가시켜도 특정한 값에 한없이 가까워질(수렴될) 뿐 그 값이 되지는 않는다는 의미다. 이 극한값(여기서는 2.7182818…)은 잔고 같은 지수적 증가나 식어 가는 차 같은 지수적 감소가 나타나는 상황에서 등장한다. 너무도 중요한 나머지 특별히 e ‘무리수’ 또는 ‘자연상수’라고도 부른다라는 문자로 나타낸다. 이는 ‘지수’를 뜻하는 exponential의 머리글자이기도 하고, (스위스 수학자 레온하르트 오일러Leonhard Euler의 이름을 딴) Euler’s number 오일러의 수의 앞 글자를 뜻하기도 한다.
--- p.57~62

내가 수학을 사랑하는 이유 중 하나는 일상적인 상황에서 해답을 찾아내는 탁월한 문제 해결 능력 때문이다.
ㆍ먼 우주에서 오는 신호를 잡으려면 위성 안테나를 어떤 모양으로 만들어야 할까?
ㆍ내일 기온은 얼마일까?
ㆍ집에서 도심까지 이동할 때 두 군데를 들러야 한다면 가장 빠른 경로는 무엇일까?
ㆍ고객의 만족도에 영향을 주지 않으면서 커피숍이 최대의 이윤을 창출하려면 커피 한 잔의 적정 가격은 얼마일까?
ㆍ이 교각이 혼잡시간대에 자동차 500대의 무게를 견디려면 철근을 얼마나사용해야 할까?

수학을 이용하면 이런 문제들 말고도 더 다양한 문제를 해결할 수 있다. 이런 유의 수학을 응용수학applied mathematics이라고 한다. 말 그대로 수학 지식과 기법을 응용해 실생활의 문제들을 해결하는 수학을 말한다. 현대 사회는 응용수학을 토대로 세워진 것이나 마찬가지다. 우리를 둘러싼 일상 속에는 알게 모르게 수많은 수학 원리들이 작동하고 있으며, 응용수학은 실생활에서 겪는 많은 문제의 해법을 찾아낸다. 응용수학은 소매를 걷어부친 작업복 차림의 수학이다. 우리는 일상에서 매일같이 응용수학을 접하지만 잘 눈치채지 못한다.

넷플릭스의 추천 알고리듬이 대표적인 예다. 넷플릭스의 소프트웨어 개발자들이 각자 맡은 일을 충실히 해낸다면 우리는 이들이 내놓은 결과물이 엄청나게 복잡한 수학을 기반으로 한다는 사실을 알아채지 못할 것이다. 여러분은 화면에 뜨는 취향 저격 프로그램에 만족하면서 (개발자들의 바람대로) 자신도 모르게 넷플릭스를 더 오래 시청하게 될 것이다. 그런데 수학에는 응용수학만 있는 게 아니다. 수학은 음악과도 같다. 제품을 판매한다는 목적으로 광고에 삽입될 음악을 만들기도 하고 애국심을 고취한다는 목적으로 국가國歌를 만들기도 하지만 음악가들이 이런 실질적인 목적만 가지고 음악을 만들지는 않는다. 대부분은 뚜렷한 목적 없는 감상이 이유다. 이런 음악은 수학에 빗대면 순수수학pure mathematics에 해당한다. 외부의 영향을 받지 않고 실생활과 관련이 없다는 점에서 순수하다는 의미다. 즉, 수학 그 자체를 위한, 지적 재미를 위한 수학이다.

순수수학은 편안한 목욕용 가운을 걸친 수학이다. 역사를 거슬러 올라가면 실용적인 목적 없이 수학을 탐구하는 데 자긍심을 갖고 있었던 수학자들을 찾아볼 수 있다. 이들은 인간의 지성으로 순수하고 추상적인 개념을 탐구하는 것이 수학을 특정 목적을 위한 수단으로 이용하는 것보다 더 고귀한 일이라고 생각했다. 영국 수학자 고드프리 하디Godfrey Hardy가 대표적이다. 그는 『어느 수학자의 변명』에서 “내 연구 성과는 세상의 편의에 직접적으로든 간접적으로든 이롭든 해롭든 미미한 영향조차 끼치지 못했고 그럴 가능성도 없다”고 자랑스레 천명하기도 했다.

평생을 바친 작업이 비실용적이고 ‘무용하다’고 자랑 삼는 것이 다소 이상해 보일지도 모른다. 수학 교육을 비판하는 사람들이 주로 성토하는 불만이 실생활과 관련이 없다는 점임을 생각하면 더더욱 그럴 것이다. 하지만 그의 책에 실린 다음 구절은 그가 이를 오히려 미덕으로 생각했던 이유를 여실히 보여 준다. “지금껏 정수론이 전쟁에 이용된 적은 없었으며 앞으로도 그럴 공산은 크다.”그의 진정성에 의문의 여지는 없지만 결국 잘못된 생각으로 판명났다는 사실은 알아두는 게 좋겠다. 다음 장에서 곧 살펴보겠지만 소수prime number 연구처럼 실생활에서 쓸 일이 있으리라고는 꿈에도 생각지 못한 여러 수학 분야들이 실제로는 매우 유용하다는 것이 입증됐기 때문이다. 실용적 가치를 전혀 염두에 두지 않았던 수학자들이 훗날 인간 사회와 현실 세계에 깊고도 심오한 영향을 끼치게 된 개념들을 탐구한 예는 수학사에 차고 넘친다.

지금부터 설명하려는 매듭 이론도 하디라면 기꺼이 즐겼을 것이다. …(중략)… 염기라 불리는 이 특별한 분자들은 원래 매우 작지만 각 세포에 30억 쌍이 들어간다면 어마어마한 길이가 될 것이다. 우리 몸을 이루는 세포 하나에서 DNA를 꺼내 일렬로 늘어놓으면 길이가 2미터에 달할 것이다. 연구에 따르면 우리 몸에는 약 37조 개의 세포가 있다. 따라서 몸에 있는 DNA를 모두 꺼내 길게 늘어놓으면 끝에서 끝까지의 거리는 740억 킬로미터 이상이 될 것이다. 이 길이를 가늠하기 쉽게 비유하면 지구에서 태양까지 무려 250번을 왕복하는 거리와 같다. 그만큼 많은 DNA가 우리 몸에 들어 있는데 놀랍게도 육안으로는 보이지 않는 매우 작은 공간에 저장돼 있다. 어떻게 그럴 수 있을까? 바로 매듭 덕분이다. 여러분의 DNA는 지금껏 살펴본 매듭들과 비슷한 형태를 띠고 있다.
--- p.106~116

여러분의 금융 자산이 안전한 이유는 기발한 수학 덕분이다. 조 단위로 달러 거래가 이루어지는 세계 경제의 기저에는 수학이 자리하고 있다. 수학이 신용카드 번호를 안전하게 지켜 주는 원리를 이해하려면 메시지를 안전하게 보내는 방법부터 알아야 한다. 인류는 수백 년 동안 비밀 메시지를 주고받아 왔다. 발 빠르고 믿을 수 있는 전령이 있다면 중간에 분실되는 일 없이 수신자에게 메시지를 무사히 전달할 수 있겠지만, 한 가지 운송 수단이나 한 사람에게만 오롯이 그 책임을 지우자니 너무 위험 부담이 크다. 특히 전시에는 비밀 교신이 최우선 사항인 만큼 전령을 포로로 삼으려는 시도가 흔하다. 게다가 무선 통신 시대가 열리면서 성능 좋은 라디오 한 대만 있으면 누구나 전파를 수신할 수 있어 의도하지 않은 수신자도 비밀 교신을 얼마든 청취할 수 있다.

그래서 등장한 것이 암호화encryption다. 암호화란 메시지를 암호로 변환하는 것을 말한다. 암호를 해독하지 못하면 그 의미를 알 수 없다. 상자에 메시지를 넣고 발신자와 수신자만 열쇠를 갖고 있는 자물쇠를 채워 보내는 것과 비슷하다. 이 열쇠를 비밀리에 보관해야 메시지의 보안이 보장된다. 누군가가 이 열쇠를 복사한다면 원치 않은 사람들도 쉽게 메시지를 읽게 될 것이다. 이 열쇠key를 비밀리에 보관하는 방법을 비밀 키 암호화private key encryption라고 한다. … (중략)… 여기서 세상에 존재하는 중요한 수 중 하나인 소수prime number가 등장한다. 우주에 존재하는 모든 물질이 특정 원소들의 고유한 조합으로 만들어지듯 존재하는 모든 수 역시 소수들의 고유한 조합으로 만들어질 수 있다. 원소와 마찬가지로 소수도 뒤섞기는 쉽지만 한번 엉키면 다시 떼어 내기가 어렵다.

예를 들어 소수인 31과 59를 곱하는 건 쉽다(답은 1,129다). 하지만 답이 1,349가 되려면 어떤 두 소수를 곱해야 할까? 그리 쉽지 않다(19와 71이다). 이런 문제는 인간의 말랑말랑한 뇌만 어려워하는 게 아니다. 고성능 컴퓨 터도 숫자가 커질수록 이런 유의 문제(소인수분해prime factorization라고 부른다)를 푸는 데 엄청난 시간이 걸린다. 즉, 두 소수를 곱해 엄청나게 큰 수를 만들기는 쉽지만 거꾸로 엄청나게 큰 수(수백 자리의 수처럼)를 분해해 두 개의 소수를 찾는 것은 어렵다. 일단 들어가면 다시 나오기 어려운 트랩도어에 비유하는 것도 이 때문이다.

그렇다면 소수와 암호화는 어떤 관련이 있는 걸까? 메시지를 안전하게 수신하려는 웹사이트는 요청하는 사람 모두에게 공개 키를 나눠 준다. 공개 키는 메시지를 암호화하기 위해 쓰는 수백 자리의 큰 숫자다. 암호화하면 자물쇠가 채워진다. 비밀 키가 없으면 누구도(메시지를 보낸 사람조차) 자물쇠를 열 수 없다. 비밀 키는(실은 수천 배 더 큰 숫자이긴 하지만, 이를테면 19와 71와 같은) 한 쌍의 소수로, 두 소수를 곱하면 공개 키가 된다. 이 소수들을 알아내기 위해 공개 키를 분해하는 것은 엄청나게 오래 걸리는 작업이다. 몇몇 공개 키는 너무 길어(너무 큰 수여서) 최첨단 컴퓨터를 쓴다 해도 해독하는 데 우주의 나이보다도 더 오랜 시간이 걸릴 수도 있다. 따라서 한 쌍의 소수로 고유의 공개 키를 만든 웹사이트들은 원하는 메시지를 안전하게 받을 수 있다.
--- p.123~132

세상이 무작위적인 일들, 즉 예측 불가능한 일들로 가득한 것처럼 보일 때도 있다. 하지만 수학 분야 중 하나인 확률과 통계는 현실이 놀랍도록 정확하게 예측 가능하다는 것을 보여 준다. 19세기 영국의 통계학자였던 프랜시스 골턴Francis Galton 경은 일명 골턴 보드Galton board를 설계해 이를 증명하려 했다. 이 장치가 바로 퀸컹크스quincunx다. … (중략)… 정규 분포의 원리는 일상의 다양한 현상 속에 숨어 있다. 우리도 모르게 미래에 일어날 일을 효과적으로 예측할 수 있는 것도 그 때문이다. 가령 집에서 시내로 나가는 버스를 탔을 때 목적지까지는 얼마나 걸릴까? 이론상 A와 B라는 지점 사이에 존재하는 도로의 거리를 정확히 계산한 뒤 각 도로의 제한속도로 나누면 소요 시간을 예상할 수 있다. 하지만 쓸데없는 짓이다. 그 사이에 있는 신호등이 차를 몇 번이나 멈춰 세우면 시간이 지체될 게 뻔하기 때문이다.

제한속도는 실제로 도로를 달리는 속도와는 상관이 없는 경우가 많다. 특히 차량이 몰리는 혼잡시간대라면 여정의 절반은 주차장을 방불케 하는 교통 정체에 허비된다. 이때 정규 분포가 해결책이 될 수 있다. 퀸컹크스에서 하나의 구슬이 떨어졌을 때 어떤 경로를 거쳐 어느 칸으로 떨어질지 예측하기 어렵듯 개별 여정도 예측하기 어렵다. 하지만 교외에서 도심으로 향하는 모든 여정을 하나로 보면 정규 분포를 따른다는 것을 알 수 있다. 퀸컹크스의 핀들이 어떤 구슬은 왼쪽으로, 어떤 구슬은 오른쪽으로 보내듯 신호등도 일부 차량은 계속 주행하게 하고 일부는 멈춰 서게 한다. 특정 핀과 이 핀에 부딪힌 구슬이 전부 한쪽으로만 떨어질 가능성은 거의 없듯 모든 신호등 앞에서 멈춰 설 가능성도 거의 없을 것이다(모든 신호등을 통과할 가능성도 없을 것이다). 퀸컹크스 아래쪽에 구슬이 쌓이듯 같은 거리를 이동하는 빈도가 높아지면 각 여정에 걸린 시간이 축적되고 이를 수집한 데이터를 통해 패턴을 알아낼 수 있다. 온라인 지도나 네이게이션은 이를 바탕으로 한 확률 모델probabilistic model을 만들어 놀라울 정도로 정확하게 소요 시간을 예측한다.
--- p.141~152

영국의 심리마술사인 데런 브라운은 이를 실제로 입증했다. 그는 자신의 마술쇼에서 동전을 던져 10회 연속으로 앞면이 나오는 극적인 결과를 선보였다. 특수 효과가 넘쳐나는 시대이다 보니 대다수는 카메라나 편집을 이용한 속임수일 거라 넘겨짚었다. 하지만 카메라 각도를 교묘하게 조정한다거나 편집을 이용한 술수는 전혀 없었던 것으로 밝혀졌다. 그는 카메라가 멈추지 않고 돌아가는 가운데 동전을 열 번 던졌고 모두 앞면이 나오는 장면이 카메라에 담겼다. 다만 이 한 장면을 잡아내기 위해 아홉 시간 넘게 동전을 던져야 했다. 극단적인 예처럼 들리겠지만 이렇게 오랫동안 동전을 던지다 보면 연속으로 같은 결과가 나타날 가능성이 매우 높다. 왼쪽 페이지에서 볼 수 있듯 동전을 2,025번 던지면 열 번이 아니라 열다섯 번 연속으로 같은 면이 나올 수도 있다.

이 수학적 사실은 심각한 결과를 낳기도 한다. 앞서 살펴본 것처럼 사람들은 동일한 결과가 연속으로 나올 가능성이 거의 없다고 생각하는 경향이 있다. 카지노에서 이런 직관에만 의존하면 자칫 재앙을 불러일으키기 쉽다. 도박에 빠진 사람들은 연속해서 여러 번 돈을 잃으면 한 번쯤은 이기게 돼 있다는 믿음에 사로잡힌다. ‘도박사의 오류’라고 부르는 이런 착각은 비극을 부를 뿐 아니라 사실과도 거리가 멀다. 도박사의 오류에 속아 넘어간 이들은 결국 빈털터리로 전락하고 만다. 그들의 직관이 결국 틀린 것으로 판명나기 때문이다. 램지 이론은 인간의 생리 작용에서도 발견된다. 우리가 익히 알고 있는 위약 효과는 생물학적 효능이 없는 약물을 복용하거나 가짜 처치를 받은 뒤에 건강이 좋아졌다고 생각하는 현상을 말한다. … (중략)… 흥미롭게도 위약대조군 가운데 일부는 실제로는 해당 약물을 복용하지 않았는데도 그 덕분에 상태가 나아졌다고 말한다. 진짜 약을 복용하고 있다는 믿음만으로 상태가 호전된 것이다. 질병과 아무런 상관도 없는 가짜 약을 복용했는데도 어떻게 몸이 회복될 수 있는 걸까?

이것이 패턴의 힘이다. 현대인들은 어린 시절부터 약과 건강한 몸의 관련성을 경험으로 학습한다. 심리학에서는 이를 ‘고전적 조건 형성’이라고 부른다. 러시아의 생리학자 이반 파블로프Ivan Pavlov는 조건 형성이 생물학적 효과로 이어진다는 것을 자신의 유명한 실험으로 입증했다. 그는 종을 울린 다음 개에게 먹이를 주는 패턴을 실험했고 그 결과 종을 치기만 하면 먹이가 없는데도 개가 침을 흘린다는 사실을 밝혀냈다. 통계학적 관점에서 말하자면 파블로프는 개에게 먹이와 종소리의 상관관계를 알려 주는 데이터를 주입하고 있었던 것이다.
--- p.225~226

스마트폰 화면 상단 모서리에 있는 조그마한 배터리 아이콘 옆에는 백분율이 표시돼 있다. 이 백분율은 언뜻 단순해 보여도 복잡한 수학 원리가 숨어 있어 오해를 불러일으킬 때가 많다. 그 이유를 이해하려면 배터리 수명이란 무엇이고, 어떻게 측정하는지부터 알아야 한다. 배터리는 자신이 감당할 수 있는 용량에 맞게 일정량의 전기를 저장한다. ‘용량’이란 용기 안에 들어갈 수 있는 분량을 뜻하므로 정해진 크기에 따라 일정량의 물을 저장하는 항아리에 비유하곤 한다. 배터리가 전기를 저장하는 용기와 유사하다고 생각하는 것이다.

항아리는 겉면에 줄을 그어 간편하게 분량을 표시할 수 있다. 반면 배터리 용량은 쉽게 측정할 수 있는 방법이 없다. 그렇다면 이 비유가 과연 타당한 걸까? 배터리는 속을 들여다볼 수 없게 만든 불투명한 용기에 가깝다. 속에 무엇이 얼마나 들었는지 알 수 없다면, 즉 눈에 보이지 않는 물질의 양을 측정하려면 어떻게 해야 할까? 바로 여기서 수학의 가장 강력한 무기 가운데 하나가 등장한다. 바로 미적분이다. … (중략)… 수학자들은 무엇이든 간단히 표현하는 것을 좋아한다(더 효율적으로 일을 처리할 수 있는 방법을 찾기 때문이다). 그래서 시간(time)이나 거리(distance) 같은 양을 나타낼 때도 한 글자로 줄여서 표현하는데, 이렇게 줄여서 표현한 것이 변수pronumeral다. 수학을 어려워하는 사람들은 변수를 나타내는 기호가 나오면 겁부터 집어먹는다. 무슨 의미인지 단숨에 이해하지 못하기 때문이다.

비유하자면 변수는 대명사와 비슷하다. … (중략)… 우리가 궁금한 건 눈에 보이지 않는 양을 측정하는 방법이다. 배터리에 남아 있는 양을 측정하는 방법 말이다. 배터리는 안을 들여다볼 수 없는 항아리다. 불투명한 항아리에 내용물이 얼마나 차 있는지는 어떻게 알 수 있을까? … (중략)… 배터리도 캠프장의 온수 탱크와 비슷하다. 물탱크의 수위가 높아질수록 온수가 더 빨리 쏟아지듯 충전량이 높으면 배터리는 전기를 더 빨리 방출한다. 따라서 특정 시점에 배터리에 전기가 얼마나 충전돼 있는지는 알 수 없더라도 배터리에서 전기가 방출되는 비율을 측정하면 배터리에 남은 전기가 대략 얼마인지 알 수 있다. 이는 결국 시간의 경과에 따른 변화량을 배터리 수명과 미적분의 관계를 알아내는 것이므로 미적분이 등장하는 것이다.
--- p.250~257

왜 0으로는 나눌 수 없을까? 수학을 배운 어른들이나 수학을 배우는 학생들이나 하나같이 ‘원래 0으로는 나눌 수 없다’는 원칙을 무턱대고 믿고 있다. 원래 그렇다고 하니 당연히 그 이유를 아는 사람도 찾아볼 수 없다. 덮어놓고 암기해야 하는 뜬금없는 법칙처럼 느껴지지만 기억하기는 쉽다. 그래도 찜찜한 기분이 든다. 계산기로 아무 숫자나 0으로 나눠 보면 항상 ‘계산 오류’가 뜬다는 사실을 근거로 내세우는 이들도 있다. 누군가는 계산기가 틀릴 리가 있겠느냐며 넘어가겠지만 ‘계산기에 그런 메시지가 뜨게 만든 사람은 대체 누굴까’라는 의문을 갖는 사람도 있을 것이다.

앞서 설명한 내용을 떠올리면 이 수수께끼를 풀 수 있다. 이 문제를 분할 나눗셈으로 생각해 보자. 0명에게 쿠키를 나눠 준다면 각자 몇 개씩 갖게 될까? 나눠 줄 사람이 없으니 0개라는 논리적 결론에 도달할 것이다. 쿠키를 받을 사람이 아무도 없으니 나눠 가진 쿠키도 0개라는 말이다. 그런데 등분 나눗셈으로 생각하면 답이 간단하게 나오지 않는다. 한 묶음에 쿠키를 0개씩 넣으면 몇 봉지를 만들 수 있을까? 한 봉지에 들어가는 쿠키가 0개라면 이론상 원하는 만큼 한없이 만들 수 있다. 쿠키가 동날 일이 없기 때문이다. 그렇다면 답은 무한대infinity인 걸까? 무한대라면 앞서 분할 나눗셈으로 얻은 답(0)과 모순된다. 논리에 일관성이 없다는 말이다. 이 문제를 해결하는 실마리는 나눗셈과 곱셈의 상관성에 있다. 앞서 살펴봤듯 24 ÷ 3 = 8은 24 = 8 × 3이기도 하다. 나눗셈을 뒤집으면 곱셈이 되고(÷ 3이 오른쪽 변으로 옮겨가면서 × 3으로 뒤집힌다) 곱셈을 뒤집으면 나눗셈이 되는 것이다.