전하려는 정보를 오해 없이 정확하게 표현하고자 인류는 긴 세월에 걸쳐 객관적 인 표현으로 ‘정수’를 탄생시켰다.
기원전 1만 5000년~기원전 1만 년 무렵, 구석기 시대의 근동에서는 동물 뼈에 선을 여러 개 새긴 ‘탤리 스틱’라는 물건을 사용했다. 이 선은 특정한 ‘구체적 사물’의 수량을 기 록하기 위해 새겼다고 추정되며, 하루하루의 음력에 맞추어 하나씩 새겼다는 가설도 있다.
--- 「제1장 수와 연산」 중에서

이런 소수 목록을 작성하려고 할 때, 지금 소개할 에라토스테네스의 체가 쉽고 효과적이다. 이 방법으로 100 미만의 소수 표를 만들어보자. 컴퓨터를 사용하면 이 방법으로 제법 큰 소수 표도 만들 수 있다. 우선 2 이상 100 미만의 정수 m이 소수가 아니라고 가정한다. m의 소인수 중에 서 가장 작은 수를 p라고 하면, m은 p × p 이상이 된다. 이때 p가 10보다 크다면 m과 p × p는 100보다 커지기 때문에 모순이 생긴다. 그러므로 p는 10 미만의 소수이며 2, 3, 5, 7 중 하나다.
--- 「제1장 수와 연산」 중에서

‘기준량’은 우선 기준이 되는 양이고, ‘비교하는 양’은 기준량과 비교하는 양이다. 이때 중요한 점은 ‘기준량’의 양과 ‘비교하는 양’의 양은 같은 종류이며, 한쪽이 다른 쪽의 몇 배라는 관계만을 의미한다는 것이다. 즉, 둘 다 거리, 금액, 무게 등등 같은 종류라는 뜻이다. 이 언뜻 당연한 언급을 별로 보지 못해서 여기서 확실하게 말해 둔다.
--- 「제2장 양과 비와 비율」 중에서

일반 열차에 타면 열차 바퀴가 레일과 레일의 이음새를 통과할 때 덜컹덜컹하는 소리가 난다. 이음새를 용접해서 롱레일로 만든 부분, 혹은 지점 등 을 빼면 레일 하나의 길이는 25cm이기 때문에 열차 속력을 구할 수 있다. 예를 들어, 1초 동안 1회, 즉 1분 동안 60회 ‘덜컹덜컹’하는 소리가 들렸다면 1분 동안 1.5km를 이동한 것이다.
--- 「제2장 양과 비와 비율」 중에서

삼각형, 사각형, 오각형, 육각형, ……은 각각 직선 3개, 4개, 5개, 6개, ……로 둘러싸인 (평면 위의) 도형이다. 다각형을 구성하는 직선 부분을 변이라고 하고, 변과 변 이 만나는 각 점을 꼭짓점이라고 한다. 다각형 중에서도 볼록다각형은 다각형 내에 있는 아무 두 점 A와 B를 찍어도 그 점을 잇는 선분이 그 다각형에 포함되는 도형을 말한다. 또, 볼록다각형이 아닌 다각형을 오목다각형이라고 한다. 다음 그림에서 왼쪽은 볼록다각형이고, 오른쪽은 오목다각형이다.
--- 「제3장 도형」 중에서

평면 위의 점 O부터 동일한 거리 r(cm)에 있는 점들의 모임을 원이라고 하고, O를 원의 중심, 원의 둘레를 원주, 중심 O에서 원주 위에 있는 점까지의 선분을 반지름, 원주의 점에서 다른 원주의 점까지의 선분 중 중심을 지나는 선분을 지름이라고 한다. 그리고 원주, 반지름, 지름은 각각의 길이를 나타내는 표현이 있다.
--- 「제3장 도형」 중에서

이 예제처럼 ‘같은 정도로 기대된다’라는 말을 의식하지 않으면 확률은 틀리기 쉽다. 프로야구를 중계하는 아나운서가 타율이 0.333인 타자에 대해서 “확률적으로 슬 슬 안타를 치겠네요” 하고 말하는 것은 틀렸고, “확률적으로 생각하면 다음에 안 타를 칠 확률도 0.333입니다”라고 말해야 적절하다.
--- 「제4장 경우의 수와 확률 · 통계」 중에서

A와 B 누구를 지지하는지 묻는 설문조사를 1000명과 10000명을 대상으로 한 결과, 1000명 조사에서는 A가 528명, B가 472명, 10000명 조사에서는 A가 5103명, B가 4897명이라는 결과가 나왔다고 한다. 이 경우, ‘1000명 조사에서는 A가 53%, 10000명 조사에서는 A가 51%이기 때문에 1000명 조사에서는 A가 유리하다고 말할 수 있지만 10000명 조사에서는 미묘하다고 말할 수 있을 것이다’라고 생각하는 사람들이 의외로 많다. 그런데 ‘유의수준 5%’라는 ‘검정’ 방식을 이용하면 10000명을 조사한 데이터에서는 ‘A가 유리하다’라고 말할 수 있고, 1000명을 조사한 데이터에서는 ‘A가 유리하다’고는 말할 수 없다. 이처럼 통계분석에서는 비율인 ‘%’만이 아니라 ‘데이터 수’도 중요하게 검토해야 한다.
--- 「제4장 경우의 수와 확률 · 통계」 중에서

대체로 수학의 내용을 자세히 묻는 사람이 많은데 나는 “‘모든’과 ‘어떤’의 용법, 특히 그 부정문을 제대로 이해하는 것이 중요합니다” 하고 답한다. 실제로 고등학교 수학을 잘 ‘이해’한 사람에게는 대학수학 입문이 어렵지 않다. 그 이유는 미적분이든, 선형대수학이든 기초 부분의 핵심에는 ‘모든’와 ‘어떤’의 용법이 있기 때문이다.