수학은 수와 함께 시작했다. 수학 분야가 더 이상 수치 계산에만 한정되지 않는 지금에도 근본적으로 수는 중요하다. 수의 기초에 관해 더욱 정교한 개념을 세워나감에 따라, 수학자들은 폭넓고 다양한 사고 분야를 발전시켰다. 덕분에 이제는 학교 수업시간에 접하는 내용을 훨씬 넘어서는 많은 분야가 등장했다. 오늘날의 수학은 수 자체보다는 수의 구조, 패턴 그리고 유형을 다루는 학문이다. 수학의 방법론은 매우 개념적이고 때로는 추상적이기도 하다. 또한 수학은 과학, 산업, 상업 그리고 심지어 예술에도 응용되며, 보편적이어서 어디에나 깃들어 있다. --- p.13

과학과 기술 분야에서 그리고 상업 분야에서도 점점 더 정교한 수학을 이용한다. 수 기호와 산수의 발명은 언어와 문자의 발명과 더불어 우리를 동물과 확연히 다른 존재로 만들어주었다 --- p.29

유클리드기하학은 삼각형에 바탕을 두고 있다. 그 주된 이유는 모든 다각형이 삼각형에서 시작해 만들어질 수 있으며, 이렇게 만들어진 다각형에서 원과 타원 같은 다른 흥미로운 도형을 만들 수 있기 때문이다. 삼각형의 계량적 성질―측정할 수 있는 성질, 가령 변의 길이, 각의 크기 또는 전체 넓이―은 다양한 공식과 관련되어 있는데, 이 공식들 중에는 아름다운 것이 많다. 이런 공식을 실제로 사용하면 항해와 측량에 매우 유용한데, 삼각법의 발달이 이에 큰 기여를 했다. --- p.102

로그 덕분에 과학자들은 곱셈을 빠르고 정확하게 할 수 있게 되었다. 단 한 명의 수학자가 20년에 걸쳐 만든 로그함수표 덕분에 이후 오랜 세월이 걸렸을 수만 건의 연구가 수월하게 이루어졌다. 이로써 펜과 종이를 이용한 과학적 분석이 가능해졌다. 만약 그런 도표가 없었다면 너무나 오랜 시간이 걸렸을 것이다. 과학은 그러한 방법이 없었다면 결코 발전할 수 없었다. 그런 간단한 아이디어가 가져다준 혜택은 이루 헤아릴 수가 없다. --- p.121

수학사에서 이루어진 발전 가운데 가장 중요한 한 가지를 꼽으라면 바로 미적분(학)이다. 미적분은 1680년경에 아이작 뉴턴과 고트프리트 라이프니츠Gottfried Leibniz가 독자적으로 발명했다. 라이프니츠가 먼저 발표했지만, 뉴턴은 (애국심이 넘치는 벗들의 지원을 등에 업고) 자신에게 우선권이 있다며 라이프니츠를 표절자로 몰아붙였다. 이 소동 때문에 영국 수학자와 대륙 수학자들은 한 세기 동안 관계가 악화되었는데, 주로 피해를 본 쪽은 영국 수학자들이었다. --- p.161

정수라는 이름은 단지 전부라는 뜻일 뿐이다. 다른 이름들은 해당 수 체계가 타당하고 합리적이라는 인상을 준다. 또는 자연스럽다든가 이성적이라든가 실제로 존재한다는 인상도 준다. 이런 이름들은 수가 이 세상의 특질을 반영한다는 오랜 견해를 단적으로 드러내준다. 많은 사람이 수학을 연구할 유일한 방법은 새로운 수를 발명하는 것이라고 여긴다. 이 견해는 한참 빗나간 생각이다. 수학 연구의 다수는 수 자체에 관한 것이 아니며, 어떤 경우든 새로운 수가 아니라 새로운 정리를 내놓는 것이 목적이기 때문이다. --- pp.208-209

1850년 무렵 수학은 수학사를 통틀어 가장 의미심장한 변화를 겪었다. 비록 당시에는 잘 드러나지 않았지만 말이다. 1800년 이전에 수학 연구의 주요 대상은 비교적 명확했다. 수, 삼각형, 구 등이었다. 대수는 수식을 이용하여 수의 조작을 표현했지만, 수식은 그 자체로서 의미를 지니는 것이 아니라 과정의 기호적 표현으로 여겨졌을 뿐이다. 하지만 1900년이 되자 수식과 변환은 과정의 표현 수단이 아니라 그 자체로 의미 있는 것으로 여겨졌다. 그리고 대수의 대상들은 훨씬 더 추상적이면서 더욱 일반적인 것이 되었다. 사실, 대수에 관한 한 기존의 개념들은 아주 큰 변화를 겪었다. 심지어 곱셈의 가환법칙(ab=ba)과 같은 기본적인 법칙들도 어떤 중요한 분야에서는 성립하지 않게 되었다. --- p.262

20세기와 21세기 초반 수학의 성장은 가히 폭발적이었다. 지난 100년 동안 인류 역사를 통틀어 그 어느 때보다도 수많은 새로운 수학적 발견이 이루어졌다. 이런 발견을 간단히 소개하려면 수천 페이지짜리 책도 모자랄 것이기에, 어쩔 수 없이 우리는 수많은 자료 중에서 몇 가지 사례만을 살펴보기로 하자.
특별히 새로운 수학 분야로 확률에 관한 이론을 들 수 있다. 무작위적인 사건들과 관련된 확률을 연구하는 분야다. 한마디로 불확실성의 수학인 셈이다. 예전에는 수박 겉핥기식으로 이 문제를 다루었는데, 도박에서 경우의 수를 계산하거나 관찰 오류에도 불구하고 천문 관측의 정확도를 향상하기 위한 방법 등에서 확률 이론이 초보적으로 쓰였다. 하지만 20세기 초에 이르러 확률론은 그 자체의 의미가 있는 어엿한 수학 분야로 자리 잡았다. --- p.382

20세기 중반 무렵 수학은 급격한 성장 단계로 접어들고 있었다. 여러 분야에 수학이 응용되기 시작했고 새로운 강력한 방법들이 도입되었기 때문이다. 현대수학의 종합적인 역사는 적어도 그 이전까지의 모든 수학사와 맞먹을 것이다. 우리가 다룰 수 있는 것은 고작 몇 가지 대표적인 사례들이지만, 이를 통해 수학의 독창성과 창의성이 여전히 굳건히 살아 있음을 여실히 보여줄 수 있다. 그중 하나가 바로 1970년대와 1980년대에 대중들에게 널리 알려진 카오스 이론이다. 이 이론은 언론이 비선형 동역학에 붙인 이름이다. 이 주제는 미적분학을 이용한 전통적인 모형에서부터 자연스레 진화해왔다. 또 하나의 사례로 비정통적인 사고방식에 바탕을 둔 복잡계 이론을 들 수 있다. 새로운 과학뿐 아니라 새로운 수학을 촉진하는 데 기여하고 있는 이론이다.