직감, 상식, 찍기는 없다

뒤통수를 자꾸 얻어맞는다면 기분 좋을 리 없다. 게다가 상식, 직감과는 전혀 다르게 전개되는 과정을 보다 보면 바보가 된 기분도 든다. 그럼에도 끝까지 따라갈 수밖에 없는 매력이 있다. 결국엔 통쾌한 깨달음을 만나게 되니까.

데이터, 확률, 도형, 논리의 각 분야별로 대표적인 주제를 5가지씩 다룬다. 일상에서 쉽게 만날 수 있는 재미있는 이야기로 시작해, 차차 심오한 수학의 세계로 나아간다. “어! 왜? 아하!”를 거듭하다 보면 수와 사물을 제대로 보게 될 것이다. 거꾸로 보고, 옆에서 보고, 뒤집어서도 생각해 보라. 결국 중요한 것은 끝까지 생각하고 또 생각하는 능력이다.

저자는 수학에 ‘직감이라는 지름길’은 없다고 주장한다. 직감이나 느낌은 사실 후천적인 지혜이다. 수학 선수들이 문제를 보자마자 답을 내는 것처럼 보이는 것도, 실은 이미 알고 있는 정답을 설명하는 것일 뿐 결코 직감이 아니라는 것이다. 문제를 끈질기게 생각하고, 논리를 하나하나 신중하게 따라가는 것만이 정답에 다다르는 길이다.

차별일까 역차별일까?

미국 플로리다 주에서 발생한 살인 사건의 재판에서 ‘사형 판결을 받은 비율과 인종의 관계’를 조사해보았다. 그 결과 백인은 11.0%(483건 가운데 53건)가 사형 판결을 받은 반면, 사형 판결을 받은 흑인은 7.9%(191건 중 15건)뿐이었다. 뜻밖의 역차별인 걸까? 그러나 피고인이 흑인이고 피해자가 백인일 때 사형 판결 비율은 22.9%(48건 중 11건)였지만, 반대의 경우에 사형 판결을 받은 백인은 없었다(16건 중 사형판결 0건). 피해자의 인종이라는 요인을 간과할 경우 전혀 다른 결론에 이르는 것이다.

평균이나 비율의 수학에는 ‘의미’가 숨어 있으며, 표에서 어느 하나의 요소만 빠져도 결론은 180도 달라져버립니다. 이것이 통계가 지닌 어려우면서도 재미있는 부분입니다. (29p)

소득, 성적, 몸무게 등 친숙한 소재로 이야기를 시작하지만, DNA 감정, 암호 생성, 스팸 메일 필터링, 분식 회계 적발 등 사회 여러 분야에서 적용되고 있는 깊숙한 원리를 설명한다. 후반부에는 수학의 정의, 증명, 무한 등 제법 난이도 높은 문제가 이어지지만, 간명한 설명과 적절한 비유로 어렵지 않게 고등수학을 맛볼 수 있다.

밭전자(田) 모양의 9개의 점에 대해 ‘한붓그리기로 4개의 직선을 모두 이어라’(152p)와 같이 간단하면서도 사고의 맹점을 찌르는 문제를 먼저 보여주고, ‘정육면체에 구멍을 뚫어 그 구멍으로 주어진 정육면체보다 더 큰 정육면체를 통과시켜라’ 하는 루퍼트의 문제를 소개한다. 정육면체에 내접하는 최대의 정사각형을 구하고, 모형을 만들어 실제로 통과시키는 과정이 유쾌하다.

세 개의 문이 있다. 그중에서 하나의 문 뒤에는 자동차가 있고. 나머지에는 염소가 있다. 내가 선택하지 않은 2개의 문 가운데 하나를 먼저 열었을 때 염소가 나온다면, 나는 이미 선택한 문을 바꾸는 게 좋을까, 아닐까? 퀴즈 게임에서 자주 볼 수 있는 ‘몬티 홀 문제’이다(224p). 교양수학 책에도 자주 나오지만 볼 때마다 헷갈리는 문제이다. 시뮬레이션과 상세한 수형도로 이해하면 좀처럼 잊지 않을 것이다.

‘생각하기’란 ‘시행착오를 거치는 것’

160여 개의 표와 그림으로 매번 반전의 논리를 친절하게 설명한다. 수학 지식이 부족하거나 수식에 자신이 없어도 그림만 보면 내용을 쉽게 따라잡을 수 있다. 풍부한 현장 경험을 가진, 한국교육과정평가원 조윤동 박사의 읽기 쉬운 번역과 세심한 역자 주가 사고와 학습의 효용을 높여준다.

엄청난 시행착오를 거쳐서야 겨우 진리에 이르게 되는데, 그것이 수학입니다. 수학에서 직감은 바로 얻을 수 있는 것이 아니고, 이렇게 세련되지 못한 작업이 쌓이고 쌓여야 비로소 얻어지는 것입니다. ‘생각하기’란 ‘시행착오를 거치는 것’과 다르지 않습니다. 그리고 그것은 살아 있는 것 그 자체라고 생각합니다. (맺음말 p.265)

이 책을 읽는 것만으로 수학 실력이 바로 늘지는 않을 것이다. 그러나 ‘생각하기’란 ‘시행착오를 거치는 것’이라는 명제를 깨닫는 순간 학습의 질은 한 차원 높아진다. 학생들에게 수학의 흥미를 돋우어주는 책이며, 특히 수학의 영재들에게는 수학자의 길로 나아가는 첫걸음이 될 수도 있다. 수학과 논리에 관심이 있거나 머릿속을 한 번 깨끗이 비워보고 싶은 사람에게도 추천한다.