002_ 기하학

정의 기하학은 물체의 모양과 크기 사이의 수학적 관계를 파악한다.
발견 기하학 원리는 기원전 300년경에 그리스 철학자인 알렉산드리아의 유클리드가 처음 세웠다.
돌파구 유클리드는 기하학을 공식적인 과학으로 정립하고 기본 공리를 세웠다.
중요성 기하학은 여러 방면에 적용할 수 있고, 아인슈타인의 일반 상대성 원리의 기반이기도 하다.

기하학은 2차원, 3차원, 때로는 더 고차원에 있는 물체의 형태를 연구하는 학문으로, 각과 선의 길이, 그 사이의 상호작용을 수학적으로 분석할 수 있게 해 준다. 토지 및 건물 측량사는 물론, 공학자, 컴퓨터 그래픽 디자이너, 이론물리학자 등 수많은 업종의 사람들이 사용한다.

과학으로서의 기하학은 2천 년쯤 전에 그리스 철학자였던 알렉산드리아의 유클리드Euclid의 연구 덕택으로 탄생했다. 유클리드 본인에 대해서는 거의 알려진 바가 없다. 그의 업적이 수학자와 과학자들에게 얼마나 큰 영향을 미쳤는지 생각하면 놀라운 일이다. 하지만 그가 대략 기원전 300~260년 사이에 살았으며, 《원론Elements》이라는 책을 써서 19세기까지 기하학 전반을 지배하는 공리를 세웠다는 것은 주지의 사실이다.
《원론》은 13권에 이르는 분량으로 출간되었다. 거기에 실린 개념 다수는 당시에도 알려져 있던 것들이지만, 유클리드는 자신만의 증명을 붙였다. 그의 위대한 업적은 따로 떨어져 있던 수많은 요소들을 한데 모아서 기하학이 무엇이고 어떻게 작동하는지에 관해 통일되고 일관된 관점을 보여 주며, 어떻게 적용할 수 있는지 그 뼈대를 제공했다는 것이다. 《원론》을 출간하기 전까지 기하학은 개념과 결과의 무작위적인 모음일 뿐이었다. 유클리드는 이것을 논리적이고 체계적인 방식으로 모아서 기하학을 공식적인 과학 분야로 탈바꿈시켰다.
《원론》이 수학에 강하게 치우쳐져 있다는 사실은 뉴턴, 코페르니쿠스, 갈릴레오와 케플러를 포함하여 여러 시대의 위대한 철학자와 과학자들에게 영향을 미쳤다. 아인슈타인 역시 이 책을 갖고 있었으며, 애정을 담아 ‘성스러운 기하학책’이라고 불렀다는 이야기가 있다.
《원론》의 핵심에는 유클리드의 다섯 가지 ‘공준’이 있다. 공준은 기초적인 기하학 규칙을 설명해 둔 것이다. 처음 네 개의 공준은 비교적 자명하다(그래서 유클리드가 여기서 유도한 것들이 더욱 놀라운 것이다). 예를 들어 첫 번째 공준은 두 개의 점 사이에 직선을 그을 수 있다는 것이다. 두 번째는 이 직선을 연장해서 그릴 수 있으며, 그때 선은 여전히 직선이라는 것이다. 세 번째 공준은 한 점에 연결된 선분이 있으면, 이 점을 중심으로 하고 이 선을 반지름으로 해서 원을 그릴 수 있다는 것이며, 네 번째는 두 선이 수직으로 만나면 그 각은 직각이고, 모든 직각은 동일하다는 내용이다.

* 평행선 공준
다섯 번째 공준은 유클리드의 기하학 규칙에서 유일하게 명확하지 않은 것으로, ‘평행선 공준’이라고도 알려져 있다. 하나의 직선과 그 위에 있지 않은 한 점이 있을 때 이 점을 지나고 첫 번째 선에 평행한 직선은 하나뿐이라는 것이다. 이 말은 평행선이 항상 평행하다는 뜻이다. 평행선은 서로 벗어나지 않으며 만나지도 않는다.
이 다섯 가지 공준을 통해서 유클리드는 강력한 기하학적 공리를 입증할 수 있었다. 예를 들어 삼각형 내각의 합은 180도이고, 밑면의 넓이가 같고 높이가 같으면 원뿔은 원기둥 부피의 3분의 1이며, 원지름을 밑변으로 하고 나머지 점이 원 둘레에 있는 삼각형은 항상 직각을 가지며(탈레스의 정리), 직각삼각형의 짧은 두 변으로 만든 사각형의 넓이의 합은 긴 변으로 만든 사각형의 넓이와 같다(피타고라스의 정리)는 것 등이다.