초등 심화는 결국 수학을 잘하기 위해 반드시 거쳐야 하는 관문입니다. 극소수를 제외한 대부분의 아이들은, 초등 때 심화를 하지 않으면 그 이후에도 심화를 하지 못합니다. 제 경험상 외고나 국제고 학생들 중에 초중등 때 심화를 안 하고 개념 위주로만 공부했던 학생들이 많습니다. 이 학생들이 고등학교 진학 후 내신을 준비하기 위해 심화를 하려 해도 심화 능력이 형성되지 않았고 시간도 부족해서 대부분 심화를 포기합니다. 고등수학부터는 상대평가이기에 시험에 변별력 있는 문제가 출제됩니다. 개념을 제대로 이해하고 유형을 암기하면 풀 수 있는 초중등 시험 문제와는 차원이 다릅니다. 그러니 고등학교 시험을 잘 치르기 위해서는 심화 문제까지 연습해야 합니다.
--- p. 24 「수학력을 쌓는 진짜 공부」 중에서

이 책의 2부에는 초등학교 교과 수학 및 심화 수학을 돕기 위한 지도안을 실었습니다. 초등 3학년 과정부터 실은 이유, 다시 말해 초등 1~2학년 심화를 싣지 않은 이유는, 아이들의 인지 발달과 행동 발달 측면에서 서술형(문장제) 위주의 심화 수학은 초등 2학년 이하의 아이에게는 적합하지 않기 때문입니다. 뇌가 완전히 발달하지 않아 아직 심화 수학을 할 능력이 없는 아이에게 심화 수학을 시키면, 자칫 잘못하다간 ‘가르치기’ 방식으로 아이를 지도하게 됩니다(사실 대부분 이렇게 지도하고 있습니다). 문장을 이해하지 못하는 아이에게 설명하기 방식으로 문제를 해석해 주고, 풀이까지 가르칩니다. 하지만 아이가 처음 수학을 시작할 때 이러한 가르치기 방식에 익숙해지면, 영원히 누군가 개념을 가르쳐 주고 문제를 해석해 줘야만 수학을 할 수 있게 됩니다.
--- p. 30 「수학력 쌓기, 어떻게 준비해야 할까」 중에서

종합적으로 판단할 때, 한 학기 평균 3권 정도의 교재 학습을 추천합니다. 특히 평범한 아이의 경우 이 정도 학습량이 적당합니다. 타 과목 및 예체능, 독서, 놀이 등을 할 시간이 확보되어 균형 잡힌 초등 생활을 할 수 있습니다. 학습적인 측면에서는 심화를 오랫동안 생각하면서 도전할 수 있고, 동시에 선행을 할 여유도 생깁니다. 아이의 수준별로 교재를 어떻게 조합해야 할지 간단한 가이드라인을 제시합니다.
--- p. 73 「교재 선택도 전략이다」 중에서

앞서 설명한 절차대로 아이들에게 문제를 풀게 해도, 제대로 된 심화를 처음 시작하는 대부분의 2그룹 아이들은 문제 자체를 못 풀 가능성이 높습니다. 끈기를 가져야 합니다. 의외로 문제만 제대로 읽게 해도 아이는 문제를 잘 풀어냅니다. 그러니 개요 작성 단계에서 본인이 작성한 개요를 보며 10분 이상 다시 생각해 보라고 합니다. 이 과정을 거쳐도 못 푸는 경우 힌트를 줘야 하는데, 앞서 설명한 것처럼 한 줄씩 힌트를 줘야 합니다. 핵심은 ‘어렵게’가 아닌 ‘스스로’임을 꼭 기억합니다.
--- p. 118 「심화교재 공부는 이렇게」 중에서

가장 불안하거나 힘든 것이 심화교재를 지도하는 것입니다. 교과서 개념은 학교 선생님이 천천히 원리부터 가르쳐 주지만 심화는 그렇게 기댈 곳이 없기 때문입니다. 사실 심화교재는 학원 강사도 무엇을 어떤 방향으로 설명해야 할지 어려워하곤 합니다. 따라서 심화 개념 지도법에서는 한 단원의 심화교재 수업을 할 때 필요한 확장 개념 및 심화 유형을 서술하고 있습니다. 시중 심화교재의 내용을 분석하여 공통적으로 들어 있는 심화 개념(기본 개념에서 확장되어 생각할 수 있는 개념) 및 심화 유형 지도법을 정리했습니다.
--- p. 175 「초등수학 지도안 개괄 및 활용법」 중에서

간혹 아이가 점이나 선이 무엇인지를 물을 수 있습니다. 현대 수학(학교 수학)에서는 점과 선을 정의하지 않습니다. 즉, 점과 선은 무정의 용어로 “점은 점이다.”, “선은 선이다.”로 표현됩니다. 수학자들은 어떤 용어들을 설명하기 위해서 또 다른 용어가 필요한 연쇄 상황을 막기 위해 처음 출발점에 해당하는 용어를 무정의 용어라고 하기로 했습니다. 점과 선이 바로 그 출발점에 해당합니다. 아이에게는 간단히 점은 점이고, 선은 선이라고 하기로 했다고 그게 수학자들의 약속이라고 말해 주면 됩니다. 이 개념으로부터 도형의 정의가 나옵니다.
--- p. 192 「3학년 1학기 2단원 평면도형」 중에서

초등 심화는 학년마다 비슷한 내용이 반복됩니다. 따라서 3학년 첫 심화가 가장 어렵고 힘듭니다. 그 과정만 넘기면 다음부터는 훨씬 수월해지니, 첫 심화 때 포기하지 말고 끝내는 것이 중요합니다. 따라서 이 학습 지도안은 3학년 과정부터 공부해야 효과가 좋으며, 아이가 진도를 나가지 못하면 앞 학년 심화 내용을 참고해야 합니다. 필요한 부분이 생기면 구체적으로 어디를 참고해야 하는지 안내하고 있으니 꼭 돌아가서 확인하기 바랍니다.
--- p. 286 「4학년 2학기 1단원 분수의 덧셈과 뺄셈」 중에서

5학년 수학이 어려운 이유는, 가장 어려운 개념인 분수를 집중적으로 배우기 때문입니다. 분수를 어려워하지 않는 아이 역시 원리는 모르고 계산 알고리즘만 외워서 문제를 푸는 경우가 많습니다. 분수 이외에도 자연수의 혼합 계산, 약수와 배수, 규칙과 대응, 합동과 대칭 등 새롭게 배우는 내용이 많아 아이들이 어려워합니다. 실제로도 아이가 5학년이 되었을 때 학원을 가장 많이 보내기 시작합니다. 더 이상 혼공으로 버티기에는 내용도 어렵고 아이들도 힘에 부치기 때문입니다. 그렇다면 수포자를 방지하는 가장 좋은 방법은 무엇일까요? 개념 이해 능력을 높이는 것입니다. 이런 능력은 1부에서 설명한 독서와 개념 정리 공부를 통해 얻어집니다. 특히 개념 필사는 5학년 때부터 시작하길 권하므로 꼭 참고하길 바랍니다. 만약 지금 개념 이해 능력을 높이지 않고 단순 문제풀이나 계산 알고리즘 익히기에만 치중하면, 그 이후에 도사리고 있는 수포자 구간을 절대 넘지 못합니다. 사실상 거의 전구간이 수포자 구간이라 할 수 있는 중고등 수학을 무사히 해내기 위해서, 교습자는 이 책에 실린 대로 정확히 공부할 수 있게 지도해야 합니다.
--- p. 318 「5학년 수학 개괄」 중에서

6학년은 중등 과정을 준비해야 하는 시기이기도 합니다. 따라서 중등 선행 때문에 대수 파트(분수·소수의 나눗셈, 비와 비율, 비례식과 비례 부분)는 심화까지 꼼꼼하게 학습하고, 도형 파트는 개념만 정확히 알고 넘어가는 학습 전략을 세우는 것도 괜찮습니다. 왜냐하면 중학교에 진학한 후 1학년 2학기 때 도형 파트를 복습하기 때문입니다.