보통 연속체 가설이라고 알려진 이 가설은 실수 전체 집합의 기수는 정수 집합의 기수보다 큰 무한기수 중 가장 작은 것이라는 것을 말한다. 현재, 연속체 가설은 참도 거짓도 아니며 결정될 수 없다는 것이 알려져 있다. 이것이 무엇을 의미하는지를 이해하기 위해서는 공리론적 방법을 간단히 되돌아보아야 한다. 공리론적 방법에서는 어떤 수학적 대상이 만족하여야 할 명시적인 조건들의 체계인 공리를 기술함으로써 수학적 대상을 구체화한다. 이 방법은 이것들을 "이루는" 원래의 사물에 대해서가 아니라 대상 사이의 추상적 관계에 관심의 초점이 맞추어진다. 집합론을 간단히 설명하면 "집합"과 같은 개념들은 정의되어 있고, 그들을 다루는 방법은 기술되어 있다고 가정한다. 연속체 가설을 논의할 엄격한 구조물을 만들려면, 먼저 집합론의 공리계를 구체화할 필요가 있다.

1964년 코헨(Paul Cohen)은 연속체 가설의 참, 거짓의 여부는 집합론에 어떤 공리계를 선택하느냐에 달려 있다는 것을 증명하였다. 이러한 상황은 기하학에서와 마찬가지이다. 유클리드의 평행선 공준의 참, 거짓은 기하학의 형태에 달려 있다. 즉, 이것이 참이 되는 "유클리드"기하학이 있는가 하면, 이것이 거짓이 되는 "비유클리드"기하학도 있다. 마찬가지로 연속체 가설이 참이 되는 "칸토어"집합론과 이것이 거짓이 되는 "비칸토어"집합론이 있다. 일찍이 괴델은 집합론의 어떤 공리계에서는 연속체 가설이 참이라는 것을 증명하였다. 코헨은 "강제"라고 부르는 새로운 방법을 써서 다른 공리계에서는 이것이 거짓이라는 것을 증명하였다. 특히, "자연스러운" 유일한 집합론을 전개하는 공리계를 선택하는 특별한 방법은 없다.