철학, 수학, 우주론, 신학에 등장하는
온갖 형태의 무한을 한 권에 담았다!

이 책은 세상에서 가장 큰 주제를 다룬다. 있을 수 있는 모든 것으로 여행자를 안내하는 궁극적인 안내서, 때로는 버겁고 때로는 쉬운 무한으로 가는 안내서이다. 무한은 수천 년 동안 인류의 정신에 나타났다. 무한을 이해하면서 무한의 콧대를 꺾는 것, 무한이 다양한 모습과 크기로 등장하는지 살펴보는 것, 우리 인간이 기술하는 우주에 무한을 기꺼이 포함할지 혹은 배제할지를 결정하는 것은 신학자들과 과학자들에게 공히 부여된 과제이다. 무한은 문제일까, 아니면 해답일까? _머리말 중에서

시대를 관통한 ‘무한’의 살아 있는 역사
왜 우리는 끝없는 것에 매력을 느낄까?

무한은 매력적인 대상이다. 한때 무한은 가장 불온한 관념이었으며, 무한은 언급했다는 이유만으로 화형당한 과학자도 있었다. 무한은 인간이 던지는 모든 근본적인 질문의 중심에 자리하고 있다. 우주에 끝이 있을까? 우주에 경계가 있을까? 우리는 영원히 살 수 있을까? 모든 것들은 무한히 쪼개질 수 있을까? 수학자이자 물리학자인 존 배로의 『무한으로 가는 안내서』(원제 : The Infinite Book)는 철학, 물리학, 수학, 우주론, 신학에서 만날 수 있는 여러 다양한 무한을 탐험하는 책이다.

무한은 인간의 인식을 넘어선 ‘상상할 수 없는 것’이다. 왜 인간은 상상할 수조차 없이 가장 큰 주제인 무한에 사로잡힐 수밖에 없는 것일까? 도처에 ‘무한’이 널려 있기 때문일까? 인간은 그저 캄캄한 밤하늘을 바라보는 것만으로도, 세상에서 가장 큰 수를 생각해보려고 하는 것만으로도 ‘무한’을 만날 수밖에 없다. 별이 반짝이는 밤의 어둠 속에서 우리가 속한 지구는 한갓 미미한 점에 불과하고, 멀리멀리 끝없이 이어지는 어둠은 우리를 무한에 대한 생각으로 인도한다. 끝은 어디에 있을까? 끝 너머엔 무엇이 있을까?

수천 년 동안 수학자, 물리학자, 철학자들이 ‘무한’을 다루면서 발견한 것은 ‘역설’이었다. 이 책은 철학, 수학, 물리학, 신학 등에서 언급되는 ‘무한’을 들여다보면서, 과연 참된 무한이 우리의 유한한 우주 속에서 실현될 수 있는지, 무한을 사건을 부적절하게 기술할 때 생기는 헛것에 불과한지, 우주의 논리적 일관성을 기술하는 원리에 의해 실재에서 추방당한 것인지, 수학에서는 어떻게 더 큰 무한과 더 작은 무한을 구별하게 되었는지 등을 찬찬히 살펴본다. 이 책에서 새삼스레 확인할 수 있는 것은 ‘무한’이라고 해서 다 같은 무한이 아니라는 점이다. 우주와 같은 거대한 무한도 있고, 끝없이 쪼개어지는 손바닥 안의 무한한 내부 공간도 있듯이, 저자는 ‘수학적인’ 무한도 있고, ‘물리적인’ 무한도 있으며, ‘절대적인’ 무한도 있다고 지적한다. 그리고 저자는 “다양한 무한을 믿거나 믿지 않는 입장들은 모두 정당하다”라고 말한다.

저자가 안내하는 곳은 공간과 시간과 물질의 끝 언저리이다. ‘무한’이라는 궁극적인 질문에 대한 해답을 찾기 위해서는 끝에 도달하지 못하더라도 끝에 다가가야만 한다. 독자들은 온갖 형태의, 온갖 크기의 무한, 즉 제논의 역설, 아리스토텔레스의 무한, 파스칼의 확률론, 힐베르트의 무한 호텔, 칸토어의 무한집합론, 우주론에서의 무한, 무한 복제 역설, 무한기계, 시간여행의 역설 등 사유의 폭을 확장시킬 수 있을 것이다.

무한은 세 가지 모습으로 온다!
시간도, 끝도, 가장자리도 없는 곳에 관한 안내서

이 무한한 공간의 영원한 침묵이 나를 두렵게 한다.
_파스칼, 『팡세』

저자가 언급하는 여러 다양한 ‘무한’을 이해하려면 무한의 종류, 즉 절대적 무한, 수학적 무한, 물리적 무한을 구분할 필요가 있다. 여기서 절대적 무한은 ‘신 정신 속의 무한’이며, 수학적 무한은 ‘인간 정신 속의 무한’, 물리적 무한은 ‘물리적인 우주 속의 무한’과 관련이 깊다.

수학적 무한을 얘기할 때 빠질 수 없는 수학자는 비운의 수학자인 게오르크 칸토어이다. 그는 ‘유한주의’ 수학자들에 맞서 무한집합론을 정초한 수학자이다. 칸토어는 무한을 추방하거나 존재하지 않는 것으로 간주하려 했던 수학자들의 반대에도 ‘무한’을 끝까지 물고 늘어져, 하나의 무한집합이 다른 무한집합보다 크기가 크다거나(자연수로 이뤄진 무한집합보다 실수로 이뤄진 무한집합이 더 크다), 끝없이 계속되는 무한의 위계가 존재한다거나, 다른 모든 무한을 포함하는 가장 큰 무한은 존재하지 않는다는 것을 증명했다. 이러한 수학적 무한은 칸토어가 살아 있을 당시에는 그 진가를 인정받지 못했지만, 오늘날에는 수학적 무한의 존재 가능성을 인정하지 않는 유한주의자를 찾기 힘들다.

물리적 무한은 수학적 무한보다 훨씬 더 극적이다. 수학적 무한은 종이 위에 있지만, 물리적 무한은 시간과 공간에 대한 관점을 완전히 바꾸기 때문이다. 가령 밀도나 온도, 가속도와 같은 물리적인 양이 무한해진다고 가정해보자. 어떤 물리적인 양이 무한해지는 이런 ‘특이점’은 과연 존재할까? 이 물리적 무한에 대한 입장은 다양하다. 연구하는 모형이 불완전하기 때문에 물리적 무한이 등장한다는 입장을 취하는 과학자들이 있는가 하면, 끈이론을 주장하는 이들처럼 물리적 무한을 제거하는 과학자들도 있고, 로저 펜로즈처럼 최초의 무한이 우주론의 필수 요소라고 생각하는 우주론자도 있다.

절대적 무한에 관한 논의는 ‘존재론적 신 존재 증명’이라는 역사가 긴 증명과 맞닿아 있다. 이들 증명은 ‘증명이 필요한 전제를 토대로 한 증명’이기도 해서 가장 많은 논란을 불러일으킨 증명들 중 하나다. 그래서 증명이 지닌 난점을 공격하는 증명도 많이 등장했다. 가령 신이 모든 속성을 가진 존재라고 정의된다면, 신은 존재를 속성으로 가져야 하고 따라서 존재해야 한다. 그러나 비존재도 속성이므로 신은 비존재의 속성을 가져야 하고 따라서 존재하지 않아야 한다는 결론에 도달하는 것이다. 이처럼 저자는 철학적이고 신학적인 대표적인 증명인 안셀무스의 존재론적 신 존재 증명, 괴델의 존재론적 신 존재 증명 등을 거론하면서, 이들 증명이 지닌 난점들을 어떤 의미를 지니는지를 주도면밀하게 소개한다.

‘무한’과 관련한 또 다른 기이한 문제로는 ‘무한한 우주’라는 관념을 들 수 있다. 우주는 무한히 펼쳐져 있을까, 아니면 끝이 있을까? 우리는 아직 우주가 유한한지 무한한지 알지 못한다. 현재 우주론 가운데 가장 널리 알려진 인플레이션(급팽창) 우주론은 무한히 많은 수의 다른 우주가 존재할 수도 있으며, 우리 우주와는 다른 물리법칙이 적용될 수도 있다는 가능성을 배제하지 않고 있다.

그러면 무한한 우주라면 어떤 일이 생길까? 만일 우주가 무한하다면, 발생 확률이 0이 아닌 모든 일은 무한히 자주 일어나야 하며, 우리들 각각이 하는 행동과 동일한 행동을 하는 우리들의 복사본이 무한히 많이 존재해야 한다. 이러한 ‘무한 복제 역설’을 피할 수 있는 방법은 무엇일까? 대표적인 것으로는 우주가 유한하다고 주장하는 방법, 이것이 아니라면 빛의 속도가 유한하므로 우리가 무한한 우주의 유한한 부분만 볼 수 있으며 우리가 우리의 복사본을 만날 확률을 거의 없다고 주장하는 방법, 다른 곳에서 생명이 발생할 확률이 0이라고 주장하는 방법 등이 있을 수 있다. 여기서 등장하는 더 복잡한 문제는 우주가 무한할 때 불가피하게 제기될 수밖에 없는 ‘윤리’ 문제이다. 우주에 있는 선(혹은 악)의 총량이 무한하다면 우리의 어떤 행위도 선을 증가시킬 수 없고, 굳이 선을 선택할 필요도 없기 때문이다.

이 책이 흥미롭게 거론하는 마지막 주제는 시간여행이다. 우리는 대개 시간이 앞으로만 쭉 뻗어가는 직선이라고 생각한다. 그러나 과연 그러할까? 만일 시간이 시작과 끝이 맞물린 원이라면 어떻게 될까? 만약 그렇게 된다면 순서는 중요하지 않게 될 것이다. 그리고 시간이 원형이라면 어디서든 괴이한 역설들을 만날 수밖에 없다. 즉 A라는 발명가가 한 발명품의 설계도를 과거 속의 B라는 과학자에게 건네주고, B는 설계도를 그대로 따라한 발명품을 남겼다고 치자. 이 경우 발명품의 아이디어는 어디서 왔을까? B는 A에게서 아이디어를 얻었고, A는 B에게서 아이디어를 얻었다. 그러면 발명품은 무에서 창조된 것일까?

이처럼 철학과 현대 과학을 폭넓게 조망하다보면, 무한과 관련한 기이한 문제들을 줄줄이 만나게 된다. 저자는 우주에 관한 생각, 수에 관한 생각, 다른 우주에 대한 생각 속에서 우리의 정신 깊은 곳에 자리 잡은 ‘무한과 유한의 충돌’이라는 딜레마를 마치 드넓은 광맥을 탐사하듯이 파헤친다. ‘무한’과 비교한다면 그 어떤 긴 이야기일지라도 짧다. 저자는 이 책이 “시간도, 끝도, 가장자리도 없는 곳에 관한 짧은 기록”이라며 다음과 같은 문장으로 책을 끝맺는다. “물질과 우주의 본성을 이해하려는 노력은 전적으로 무한의 안내에만 의지하게 될지도 모른다. 우리는 무한을 지금보다 더 잘 알아야 할 것이다.”