현대인은 어떻게 메르센 소수를 찾을까? 모두가 비슷한 예상을 할 거 같은데 바로 컴퓨터를 이용하는 것이다. ……개개인은 모두 이 프로젝트에 자발적으로 참여할 수 있다. 소프트웨어는 누구든지 다운로드하여 프로젝트에 참여할 수 있는데 더 큰 메르센 소수를 찾는 데 자신의 힘을 보탤 수 있다. 50번째 메르센 소수도 미국의 한 택배기사가 교회에 묵혀있는 낡은 컴퓨터를 이용하여 이 프로젝트의 프로그램을 십여 년을 돌려 발견한 것이다.

협소한 통로에 있는 소파를 옮기려는데 코너에 막혀서 이러지도 저러지도 못한 경험이 있는가? 이럴 때면 우리를 지켜보고 있는 거인이 소파를 살짝 들어 옮겨주었으면 하는 엉뚱한 생각이 들기도 한다. 하지만 현실에서는 용을 쓰다 지쳐서 소파를 돌려놓을 수밖에 없다.
‘심심한’ 수학자들은 이 문제를 거론했다. 만약 폭이 1인 복도에서 오른쪽 방향으로 직각의 모서리를 끼고 있는 공간이 있다고 하자. 이 공간을 통과할 수 있는 소파의 단면적 최댓값은 얼마일까?

하지만 왜 몇십 년 동안 코카콜라는 펩시콜라를 영입하지 않았을까? 혹은 펩시는 전력을 다하여 코카콜라를 따라가지 않는 것일까? 이것은 두 기업이 완전히 다른 레시피를 쓰지 않는다고 이해해도 될까? 만약 어떤 한 기업이 레시피를 완전히 바꾼다면―가격 또는 영업전략 등―스스로 막대한 손해를 입을 것이다. 그래서 두 기업은 일종의 내시균형점의 상태에 있는 것이다.

완벽하게 아름다운 군이 하나 탄생했다! 나는 이것을 ‘오행군’이라고 명명하고 싶다. 또한 이 군의 원소는 모두 어떤 ‘치환’이므로 이것은 ‘치환군’이라고 부를 수 있다. 앞에서 말했는데 치환군은 순환군보다 더 기초화, 일반화된 군이다. 이유는 ‘케일리 정리’로 설명할 수 있는데 모든 유한 원소의 군은 모두 치환군과 동형이 될 수 있다는 것이다.

당신은 선택공리가 나와는 아무런 상관도 없다고 생각할 수 있다. 어디서 이 공리를 써먹을 수 있을지와 같은 생각도 안 할 수 있다. 하지만 이것은 바로 당신의 큰 착각이다. 실제로 수많은 증명에서 당신은 이미 자각하지 못했겠지만 선택공리를 써왔다. 풍자적으로 말하면, 선택공리를 반대하는 사람들조차도 실제로 이전의 수많은 연구에서 이 공리를 사용해왔다.

에어디쉬는 이런 농담을 한 적이 있다. 외계인이 지구에 떨어져 인류를 위협하며 R(5, 5)의 정확한 수를 요구하며 이 수를 내놓지 않으면 지구를 없애버리겠다고 한다. 그러면 지구의 모든 ‘계산력’을 모아 답을 내기 위해 안간힘을 쓸 것이고 해볼 만하다. 그러나 외계인이 만약 R(6, 6)이 얼마인지 묻는다면, 그러면 인류는 목숨을 건지기 위해 서둘러 도망가야 할 것이다.

수많은 과학서적에서는 큰 수에 대한 이야기를 멈추지 않는다. 구골 수, 바둑의 변화 수, 제일 큰 메르센 소수, 스고스 수 등이 언급될 수 있겠지만 나는 이런 수들을 모두 건너뛰고 바로 그레이엄 수에 대해 다루려고 한다. 그레이엄 수를 앞에서 언급한 수와 비교한다면, 얼마나 더 큰 수인지 형용할 수도 없을뿐더러 그런 수는 모두 무시해도 되는 클래스에 속한다. 그럼 이제 그레이엄 수가 어떤 수인지 함께 알아보도록 하자.