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프롤로그 PART 1 이성적 사고로 세상을 통찰하는 법_사고 편 . 가혹한 현실을 인정하고 노력으로 99%의 확률에 도전하라 . 누구나 아는 '해석'보다 아무도 모를 '예측'을 하라 . 아둔한 구두장이 셋과 제갈량의 대결 . 자주 찾아오는 소확행과 가끔 찾아오는 대확행 . 장점과 단점의 심층 분석 . 복잡한 현상 배후에 숨겨진 단순한 규칙 . 사건 뒤 몸을 숨긴 배후 사건을 찾아라 . 공기청정기와 칼만 필터 PART 2 난제를 해결하는 전략과 기교_방법 편 . 다다익선 양성 피드백 VS 설상가상 음성 피드백 . 세기의 마천루도 완벽한 기초 설계부터 . 본질을 포착해 제약에서 벗어나라 . 거듭할수록 확률을 높이는 큰 수의 법칙 . 오차를 최소화하기 위한 중용의 지혜 . 오히려 약이 되는 시행착오의 즐거움 . 문제를 해결할 수 없을 땐 사물의 형태를 변환하라 . 젊었을 때 다양한 경험을 쌓아라 PART 3 잘 배우고 명확하게 표현하기_학습 편 . 주동적 예측과 편차를 통한 학습법 . 나만의 최적화된 학습모델을 찾아라! . 핵심부터 명확하고 간단하게 표현하라 |
劉雪峯
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** 공기 역학에 새로운 방면을 개척한 조지 케일리는 새의 비행 원리를 이해한 뒤 고정 날개 형태로 위로 향하는 양력을 만들어낼 수 있는 원리를 제시했다. 그리고 이후 라이트 형제가 해당 원리를 발전시켜 인류는 마침내 하늘을 나는 꿈을 실현할 수 있었다.
이것이 바로 본질을 포착하고 제약을 제거하는 사고이다. 인류가 새의 비행을 모방해 하늘을 날기 위해서는 먼저 새의 비행 원리, 즉 공기 역학을 이해해야 한다. 그리고 공기 역학에 근거해 비행에 필요한 양력을 만들어내야 한다. 공기 역학을 이해하면 날갯짓은 양력을 만들어내는 하나의 방식일 뿐이며 새에게는 적합한 방법이지만 사람에게는 아니라는 사실을 알 수 있다. ** 여기서는 도박을 예로 확률과 알고리즘에 대해 다룬다. 우리는 수학의 관점에서 도박장 운영자가 돈을 버는 방법에 관해 이야기해 보겠다. 이 점을 이해한다면 도박에 빠진 사람이 결국에는 전 재산을 탕진하게 되는 이유를 이해할 수 있을 것이다. 그리고 이를 통해 교훈도 얻을 수 있을 것이다. ** ‘일부 방정식에 대한 완벽한 해’와 ‘모든 방정식에 대한 불완전한 해’는 두 가지 서로 다른 사고방식을 대표한다. 우선 첫 번째 사고방식을 가진 사람은 ‘편협’하다는 특징이 있다. 그래서 어떤 이치든 자신의 관점과 완벽하게 일치해야만 받아들인다. 이런 사람은 자신이 옳다고 판단한 이치가 실제로는 그렇지 않더라도 신경 쓰지 않는다. 자신이 옳다고 생각하는 것만 받아들이고 이것과 충돌하는 관점은 무엇이든 문제가 있다고 단정을 짓고 받아들이지 않는 것은 완벽주의가 가진 문제점이다. 이것을 방정식으로 표현해 보면 연립 방정식 중 일부 방정식만 다루고 다른 방정식을 무시하거나 아예 삭제한 채 ‘연립 방정식에 유일한 해’가 있다는 신념을 갖는 것이다. ** 확률적 세계관은 ‘일을 꾸미는 것은 사람이지만 성사 여부는 하늘에 달려 있다謀事在人, 成事在天’라는 고사성어와 상통하는 부분이 있다. 우리는 확률로 이 고사성어를 더욱 명확하게 이해할 수 있다. ‘일을 꾸미는 것은 사람이다’라는 것은 ‘노력으로 성공 확률을 높일 수 있다’는 의미이다. 그리고 성사 여부는 하늘에 달려 있다는 것은 ‘열심히 노력해 만반의 준비를 마쳤다고 해도 확률상 반드시 성공하는 것은 아니다’라는 의미이다. 또 앞에서 언급한 ‘노력하면 성공한다’와 ‘숙명론’을 확률적 세계관의 관점에서 바라본다면 두 가지 세계관이 가진 문제점을 더욱 명확하게 파악할 수 있다. ** 이런 점에서 우리는 ‘아둔한 구두장이라도 셋이 모이면 제갈량과 필적할 수 있다’라는 말을 수정할 필요가 있다. 아둔한 구두장이 세 명이 모여서 제갈량과 필적하려 한다면 그들이 가진 능력과 문제를 바라보는 각도가 서로 달라야 한다. 만일 구두장이 세 명이 문제를 바라보는 각도가 비슷하다면 아무리 기를 쓰고 노력한들 제갈량 한 사람을 이길 수 없을 테니 말이다. ** 사실 주변에는 두 가지의 관련되어 보이는 사건이 실제로는 또 다른 사건에 관한 조건부 독립인 경우가 많다. 그러니 우리가 배후에 있는 ‘또 다른 사건’을 파헤치지 않는다면 ‘관련성’을 ‘인과성’으로 쉽게 오해하게 된다. ** 맨 처음 문제로 돌아가 보자. 젊었을 때 대도시에서 다양한 경험을 쌓고 여러 직업을 시도해 봐야 하는 이유는 뭘까? 그건 인생이 실제로는 최적해를 찾는 과정이기 때문이다. 시작부터 완벽한 사람은 없다. 하지만 우리는 끊임없이 노력해 자신을 발전시켜 나갈 수 있고, 자신이 도달할 수 있는 가장 좋은 위치에 이르는 것을 최후의 목표로 삼을 수 있다. 이 과정은 앞에서 다룬 경사법과 언덕 오르기에 담긴 사고와 일치한다. ---본문중에서 |
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확률의 세계에서 살아남는 법,
불확실한 시대, 결국 ‘계산’하는 사람이 승리한다! 성공은 노력의 양으로만 결정될까? 아니면 이미 정해진 운명의 궤도를 따라 흘러가는 것일까? 우리는 흔히 이 두 가지 생각 사이를 오간다. 그러나 이 책의 저자 류쉐펑 교수는 둘 다 현실을 충분히 설명하지 못한다고 말한다. 세상은 ‘반드시 그렇게 된다’거나 ‘아무리 해도 소용없다’는 식의 단정으로 움직이지 않기 때문이다. 저자는 인생을 바라보는 새로운 관점으로 ‘확률적 세계관’을 제안한다. 아무리 애써도 원하는 결과를 얻지 못할 수 있다. 그렇다고 해서 노력이 무의미한 것은 아니다. 노력은 결과를 100퍼센트 보장하지 않지만, 가능성을 조금씩 높여 가는 힘을 지닌다. 반대로 “어차피 정해진 운명”이라며 손을 놓는 순간, 스스로 선택지를 줄이고 성공 가능성도 작아진다. 결국 중요한 것은 ‘반드시 성공한다’는 낙관도, ‘이미 정해졌다’는 체념도 아니다. 성공 확률을 계산하고, 그 확률을 유리하게 만드는 방향으로 행동을 설계하는 태도다. 수학적 사고란 바로 이런 태도를 의미한다. 결과를 장담하지 않되, 구조를 분석하고 조건을 따지며, 가능성을 관리하는 사고방식이다. 이러한 관점을 갖춘 사람은 실패를 겪어도 쉽게 무너지지 않는다. 한 번의 좌절을 최종 결과로 오해하지 않고, 전체 확률 속의 한 사건으로 이해하기 때문이다. 수학은 공식이 아니라 ‘세상을 읽는 언어’다 많은 사람에게 수학은 교과서 속 기호와 공식의 집합일 뿐이다. 시험이 끝나면 잊혀지는 계산 기술쯤으로 여겨진다. 그러나 저자는 수학의 진짜 가치는 계산이 아니라 ‘구조를 보는 힘’에 있다고 강조한다. 수학적 개념은 복잡하게 얽힌 현실을 해부하는 도구가 된다. 무엇이 원인이고 무엇이 결과인지, 어떤 요소가 본질이고 어떤 요소가 주변 변수인지 구분하게 해준다. 감정과 인상에 휘둘리기 쉬운 상황에서도 한 걸음 물러나 조건을 설정하고 관계를 따져보게 만든다. 그 결과, 막연했던 문제가 점차 윤곽을 드러낸다. 이 책은 일상의 구체적인 사례를 통해 이러한 사고의 힘을 보여준다. 예컨대 전기밥솥이 밥을 태우지 않는 이유를 설명하는 과정에서도 온도와 시간, 조건 설정이라는 수학적 사고가 작동한다. 젓가락으로 집기 어려운 완두콩을 어떻게 하면 쉽게 먹을 수 있는지도 구조와 안정성이라는 관점에서 이해할 수 있다. 나아가 인간관계에서 갈등을 줄이는 방법, 직업 선택에서 합리적인 판단을 내리는 기준, 투자와 의사결정에서 위험을 관리하는 전략까지 수학적 사고는 폭넓게 적용된다. 삶의 문제는 서로 다른 얼굴을 하고 있지만, 그 이면에는 공통된 논리와 구조가 존재한다는 사실을 이 책은 설득력 있게 보여준다. ‘심중유수(心中有数)’라는 말은 겉으로 드러나지 않아도 이미 계산이 끝나 있는 상태를 뜻한다. 단순히 숫자를 안다는 의미가 아니라, 상황을 파악하고 승산을 가늠할 수 있는 준비가 되어 있다는 뜻이다. 반대로 ‘심중무수(心中無數)’는 갈피를 잡지 못하고 우왕좌왕하는 상태를 가리킨다. 저자는 우리가 살아가는 시대야말로 ‘심중유수’의 태도가 필요한 시대라고 말한다. 정보는 넘쳐나고 선택지는 많아졌지만, 그만큼 혼란도 커졌다. 이럴 때 감정이나 분위기에만 의존하면 방향을 잃기 쉽다. 그러나 수학적 사고를 내면화하면 상황을 보다 차분하게 분석하고, 선택의 유불리를 비교하며, 장기적인 관점에서 판단할 수 있다. 이 책은 수학을 잘하는 사람이 되라고 요구하지 않는다. 대신 수학적 사고 생각하는 사람이 되라고 권한다. 결과를 단정하기보다 가능성을 따져보고, 실패를 운명으로 해석하기보다 확률의 일부로 받아들이는 태도. 바로 그 사고의 전환이 인생의 흐름을 바꾼다고 저자는 말한다. 수학적 사고를 마음속에 품는 순간, 우리는 더 이상 막연한 기대나 두려움에 휘둘리지 않는다. 대신 스스 로의 선택을 설계하고, 성공의 문턱에 한 걸음 더 가까이 다가갈 수 있다. 인생의 승산을 높이는 가장 현실적인 방법이 바로 여기에 있다. |
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인생 경험이 많이 쌓일수록 컴퓨터 지식을 쉽게 배울 수 있다. 그래서 나는 평소 학생들을 지도할 때 주제의 배후에 숨겨진 사람과 사물의 이야기를 활용해 지식과 기술의 발전을 설명한다. 그러면 학생들은 관련 지식에 담긴 혁신과 발전을 깊이 이해하고 기술 발명의 배경과 동기를 깊이 체득할 수 있다. 이 책에는 이와 같은 설명이 아주 많이, 쉽게 담겨 있다.
인생을 경험하거나 지식을 추구하는 과정 모두 호기심과 관찰력을 활용할 필요가 있다. 꾸준히 깨닫고 이해하고 연습하고 되돌아보며 전체를 정리해야 한다. 저자는 이런 관찰과 깨달음을 통해 알고리즘과 인생의 관계를 설명함으로써 우리가 두 가지를 더욱 잘 이해할 수 있게 도와준다. 평소 나는 과학 관련 도서를 읽으면서 그 속에서 깨달음과 영감을 얻길 기대한다. 시중에는 과학 관련 책들이 많이 나와 있지만 컴퓨터 알고리즘 영역을 중점적으로 다룬 책은 많지 않다. 그런 점에서 이 책은 충분히 읽을 만한 가치가 있다. 내가 매 장, 매 단락을 읽으면서 도움이 되는 지식을 얻었듯이 관심이 있는 독자들도 이 책을 통해 유익한 경험을 하길 바란다. - 차오젠눙 (홍콩 이공대학 교수) |