소수는 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 1보다 큰 자연수를 말해. 예를 들어 2, 3, 5, 7, 11… 과 같은 것들이지. 가장 작은 소수는 2이고, 2는 소수 중 유일한 짝수라는 특징이 있어. 그렇다면 가장 큰 소수도 있을까? 이 질문은 아주 오래전부터 수학자들을 궁금증에 빠뜨렸던 질문이야. 무려 2,300여 년 전에 『유클리드 원론』이라는 책에 소수의 개수는 무한하다는 사실을 증명한 기록이 남아 있을 정도지. 유클리드는 먼저 소수가 유한개 존재한다고 가정했어. 그리고 그 소수를 모두 곱한 다음, 그 결과에 1을 더해 본 거야. 그 수를 A라고 한다면 이 A는 소수일까? 합성수일까? 예를 들어 소수가 2, 3, 5 밖에 없다고 생각해 봐. 이 소수를 모두 곱하면 30이고, 여기에 1을 더하면 31이야. 이렇게 만들어진 31은 유한개의 모든 소수(2, 3, 5)로 나누어떨어지지 않아. 31=2×3×5+1이니까, 2, 3, 5로 나눴을 때 나머지 1이 나오기 때문이지. 31이 소수라면, 소수가 2, 3, 5 밖에 없다는 가정과 맞지 않아. 즉 처음 세운 가정이 틀렸다는 걸 통해 소수가 무한하다는 사실을 증명한 거야.
--- pp.16~17

A4 용지에도 수학의 원리가 숨어 있다는 사실 알고 있었니? 예전에는 나라마다 종이 규격이 모두 달라서 많은 종이가 낭비되었어. 그래서 독일이 표준화된 규격을 정하자고 제안했고, 낭비를 줄이기 위해 종이를 반으로 잘라도 가로, 세로의 비가 일정하게 만들기로 했지. 그리고 그 넓이가 1m2가 되는 종이를 A0라고 하고, A0를 반으로 나누면 A1, A1을 반으로 나누면 A2가 되는 식으로 만들었지. 즉 A0 한 장으로 A4 16장을 만들 수 있었어.
그렇다면 반으로 잘라도 가로 세로의 길이 비를 일정하게 만들려면 가로와 세로의 비율은 어떻게 되어야 할까? 가로의 길이가 a, 세로의 길이가 b인 직사각형이 있다고 가정해 볼게. 이를 반으로 잘라서 생긴 작은 직사각형은 긴 변의 길이가 b, 짧은 변의 길이가 a/2가 되겠지? 이때, 큰 직사각형과 작은 직사각형의 길이 비가 일정해야 하니까, 다음과 같이 비례식을 세울 수 있어. a:b=b:a/2
--- pp.53~54

데카르트는 1596년 프랑스에서 태어나 수학, 철학, 과학에 걸쳐 엄청난 영향을 끼친 사람이야. 그는 특히 “나는 생각한다, 고로 존재한다.”라는 명제로 잘 알려졌어. 그의 수학적 업적, 특히 좌표계의 발견은 현대 수학과 과학에 지대한 영향을 미쳤지. 데카르트는 침대에 누워서 천장의 무늬를 관찰하다가 좌표계를 발견했어. 천장 위를 이리저리 날아다니는 파리를 보면서 파리의 위치를 수로 표시할 수 있을 거란 생각을 한 거야. 그 결과 서로 똑바로 교차하는 두 수직선을 이용한 좌표평면이 탄생했어. 가로 방향의 수직선은 x축, 세로 방향의 수직선은 y축이라 하고, 그 교점은 원점이라고 해.
그렇다면 데카르트는 이것을 이용해 어떻게 파리의 위치를 나타내려고 했을까? 그는 원점을 기준으로 가로와 세로 방향으로 각각 파리가 이동한 거리를 순서쌍으로 나타냈어. 예를 들어 원점에서 왼쪽으로 3칸, 위로 2칸에 있으면 (-3, 2)와 같이 나타내는 거지.
--- pp.77~78

넓이 1인 정사각형의 넓이를 구할 때 우리는 선의 넓이나 점의 넓이는 생각하지 않고 계산하고 있어. 이미 점이나 선으로 표현하지만, 실제 면적에는 포함되지 않는다고 암묵적으로 약속한 거야.
『유클리드 원론』에서는 점, 선, 면을 비롯해 직각, 직각보다 큰 둔각, 직각보다 작은 예각, 한 점(원의중심)에서 이르는 거리가 같은 점들의 모임인 원, 선분으로 둘러싸인 평면도형인 다각형, 정삼각형, 이등변삼각형, 직각삼각형, 정사각형, 직사각형, 마름모, 평행사변형, 평행선 등 우리가 도형에서 배우는 대부분의 용어를 무려 2200년 전에 정의했어.
도형에 대한 정의뿐만 아니라 평면도형의 다양한 성질도 논리적으로 설명하고 있어. 유클리드는 5가지의 약속만으로 수많은 도형의 성질을 설명했지.
--- p.111

팽이 돌려 본 적 있니? 팽이는 모양이 원형이라는 특징을 가지고 있어. 그런데 원은 모든 방향에서 대칭을 이루고 있잖아. 그래서 어떤 방향으로 접더라도 항상 완벽하게 반으로 접을 수 있어. 이러한 대칭성이 균형을 잡는 데 유리하기 때문에 원형 팽이는 안정적으로 돌 수 있지. 하지만 팽이를 원형으로만 만들 수 있는 건 아니야. 다른 도형도 원의 중심과 같은 균형점을 찾을 수만 있다면 팽이를 만들 수 있어. 원의 중심처럼 도형의 균형을 이루게 하는 점을 우리는 ‘무게중심’이라고 불러. 아마 손가락 위에 책이나 공책을 올려서 돌리거나, 공을 손가락으로 돌리려고 시도해 본 적 있을 거야. 손을 가져다 댄 그곳이 도형의 무게중심이라면 균형이 잡히기 때문에 회전시킬 수 있는 거야.
--- p.143

통계청에서는 자산을 1등부터 차례로 나열해서 상위 10%, 20%…, 100%까지 각 구간에 속한 사람들의 평균 자산을 공개한 다음 상대적 위치에 따른 자산 분포를 보여 주기도 해. 다음 표처럼 자산이 가장 적은 하위 10%는 1분위, 자산이 가장 많은 상위 10%는 10분위로 나타냈어. 그리고 해당 분위 사람들의 평균 자산을 조사해서 정리했어.
이렇게 보니까 가구별 상대적 위치에 따른 순자산 규모를 알아보기가 더 쉬워졌지? 이렇게 자료를 정리할 때 가장 먼저 계산하는 통계치가 바로 ‘평균’이야. 평균은 자료 전체를 하나의 숫자로 간단히 나타낼 수 있는 아주 좋은 방법이지. 전체 자료를 모두 더한 다음에 자료의 총수로 나누는 간단한 방법으로 계산할 수 있다는 장점 덕분에 많은 곳에서 사용되고 있어. 하나의 값으로 전체 자료를 대표하기 위해 사용하는 값을 ‘대푯값’이라고 해. 평균도 이 중 하나지만 평균은 대푯값으로 어울리지 않는 경우도 많아.
--- p.167

로또와 연금복권의 1등 확률을 비교해 보면 연금복권의 당첨 확률이 대략 1.6배 정도 높아. 그렇다면 연금복권이 더 유리한 복권일까?
당첨 확률은 높지만, 실제 당첨 금액으로 인한 경제적 이득을 따져 보면 어느 쪽이 낫다고 말하기가 쉽지 않아. 연금복권은 당첨금이 월 700만 원씩 20년이라고 정해져 있지만, 로또는 로또 판매량에 따라 1등 당첨금액이 달라지기 때문이지. 게다가 1등 당첨자의 숫자에 따라 그 금액을 나누게 되니까 1등 당첨 금액을 정확히 계산하기가 어려워.
하지만 두 복권 모두 복권을 사서 기대할 수 있는 수익의 기댓값은 50% 정도밖에 되지 않아. 복권을 만 원어치 사면 평균적으로 5천 원 정도를 받는다는 거지. 실제로 지금까지 로또는 76조 원가량 판매되었지만 총 당첨 금액은 38조 원밖에 되지 않아. 판매 금액의 절반 정도가 당첨 금액으로 지급되고 있다는 말이야. 따라서 수학적으로 생각하면 복권을 사는 일은 올바른 선택이 아닐 수 있어.
--- p.204

‘지도학습’은 인공지능이 학습하는 가장 기본적인 방법이야. 주어진 데이터를 이용해서 학습을 시키는데, 이 데이터에는 정답이 들어 있어야 해. 마치 선생님이 학생에게 많은 문제와 답을 주고 풀게 하는 것과 비슷하지. 예를 들어 강아지와 고양이를 구분하는 인공지능을 만들려면 “강아지”라는 답이 적힌 강아지 사진과 “고양이”라고 답이 적힌 고양이 사진을 인공지능에게 많이 학습시키면 돼. 학습하는 양이 늘어날수록 인공지능은 이를 구분할 수 있는 최적의 식을 찾게 될 거야. 이때 ‘선형회귀’라는 수학적 아이디어가 사용돼. 강아지와 고양이를 잘 구분할 수 있는 직선의 식을 만드는 거지.