*** 고등학교 수학에서 실질적으로 많은 사람에게 가장 도움이 되는 분야는 무엇일까? 아마도 ‘미분과 적분’일 것이다(이하 미적분). 그 이유는 바로, 미적분을 알면 숫자에서 얻을 수 있는 정보가 배로 늘어나기 때문이다. 좋아하고 싫어하는 걸 떠나서 현대인과 숫자는 떼려야 뗄 수 없는 관계다. 돈, 수익률, 고객 수, 고객 단가, 지속률, 평균 시간, 회전율, 가동률, 불량률…. 이렇게 온갖 숫자들에 둘러싸여 살고 있으니 말이다. 미적분을 배우면 단순히 숫자로만 보이는 것들에서 더 다양한 정보를 끌어낼 수 있다. 뛰어난 인재는 하나를 알면 열을 안다고들 하는데, 미적분을 알면 숫자에서 얻을 수 있는 정보가 배로 늘어나니 명석해 보이는 건 당연한 거 아닐까?

*** 우리 주변의 숫자에는 미적분이 가득하지만, 그 힘은 이공학 분야에서 가장 많이 발휘된다. 차가 달리고, 비행기가 날고, 빌딩을 세우고, 스마트폰으로 통화를 하고, 로봇이 우리의 일손을 덜어 주는 것도 모두 미적분의 힘 없이는 이루어낼 수 없다. 그중에서도 현대 사회에 빠질 수 없는 것이 바로 컴퓨터다. 이 세상에서 생물 빼고 유일하게 ‘사고’라는 것을 할 수 있는 컴퓨터는 사회 구석구석에서 활약하고 있다. 개인용 컴퓨터는 물론이고 스마트폰이나 차 안, 냉장고, 청소기, 세탁기 같은 가전제품들 안에서까지 열심히 일하고 있다.

*** 속력을 거리÷시간으로 구한 계산이 ‘미분’이다. 그리고 거리를 속력×시간으로 구한 계산이 ‘적분’이다. 바꿔 말하면, 시간으로 나누는 계산이 ‘미분’이고, 시간을 곱하는 계산이 ‘적분’인 셈이다. 다시 말해 미분은 나눗셈, 적분은 곱셈이다.

*** 영국의 천문학자 에드먼드 핼리(1656-1743)라는 인물이 있다. 이 사람은 76년에 한 번 지구에 접근한다는 ‘핼리 혜성’을 발견한 인물로 알려져 있다. 사실 핼리는 미분과 적분이라는 학문 발전에 크나큰 기여를 한 뉴턴과 같은 시대에 살았던 연구자인데, 뉴턴에게 『프린키피아』라는 글을 쓰도록 추천한 사람 역시 그였다고 한다.
그리고 뉴턴은 미적분을 사용해서 구축한 운동방정식의 이론으로 핼리 혜성의 움직임을 예측했는데, 실제 76년 주기로 핼리 혜성이 지구에 나타났다고 해서 그 정확성이 증명되었다. 뉴턴의 미적분 이론이 미래를 예측한 것이다.

*** 누구나 블랙홀은 들어봤을 것이다. 블랙홀은 중력이 무척 강해서 시 공간을 뒤틀어 빛조차도 가둔다고 하니 정말 무시무시하다. 그런데 신기하지 않은가? 그런 걸 과연 어떻게 알았을까? 우리는 블랙홀을 직접 사용해서 실험할 수 없으므로 수학과 미분방정식의 힘을 빌려 분석하는 수밖에 없다. 그런 우주의 움직임을 나타내는 방정식이 이 아인슈타인 방정식인 것이다.
이 방정식은 지금까지 나온 방정식들과 비교도 되지 않을 정도로 어렵다. 계수부터가 일반 숫자가 아니라 ‘텐서’라는 것인데, 연립 미분방정식의 형식으로 쓴다. 이 미분방정식을 풀어서 얻을 수 있는 함수는 우주나 블랙홀, 빅뱅 등 인간이 느낄 수 없는 것들의 움직임을 우리에게 보여 준다. 이게 바로 미적분의 힘이다.

*** 적분이란 넓이를 구하는 것이고, 미분이란 기울기를 구하는 것이다. 그리고 지금까지 알아본 것처럼 일차함수는 미분과 적분 모두 간단하지만, 이차함수는 간단하지 않았다. 여기서는 먼저 미분의 기술에 대해 설명하려고 한다. 결론부터 말하자면 이차함수처럼 단순한 함수라면 도함수라 불리는 함수가 존재한다. 그리고 그 도함수가 기울기, 즉 미분계수를 나타낸다.

*** 수학이라는 학문에서 보면, 미적분을 배울 때 무한이라는 개념이 등장하는 것은 새로운 일이다. 이것은 초등학교 고학년 때 ‘분수’라는 개념이 등장했던 것처럼, 그리고 중학교에 들어가서 ‘음수’를 다루기 시작했을 때처럼 인상이 깊다. 실제로 고등학교 미적분의 수준에서는 이 무한 문제와 씨름을 할 필요는 없다. 이 책에서 소개하는 ‘그냥저냥’ 수준으로도 문제는 없다. 하지만 대학교에 진학해서 수학을 더 깊게 공부할 사람에게는 이 무한을 어떤 식으로 다루는지가 중요한 테마가 될 것이다. 만약 여러분 중에서 수학을 더 공부하고 싶은 분이 있다면 무한을 어떻게 다루는지 깊이 있게 공부하길 바란다. ‘이게 바로 수학의 세계구나’라는 것을 느낄 만큼 심오한 세계가 펼쳐질 것이다.

*** 예를 들어 질량이 50kg인 물체를 50N(뉴턴)의 힘으로 밀었다고 하자. 그러면 2초 후에 속도는 2.0m/초에 위치는 2m, 그리고 3초 후에는 속도가 3.0m/초에 위치는 4.5m에 있게 된다. 이처럼 운동방정식이라는 미분방정식을 사용하면 어떤 시간에 물체가 어디에 있고 속도는 어떤지 예측할 수 있다. 이 경우에 속도는 시간에 비례하고 위치는 시간의 제곱에 비례한다.

*** 여기서 ‘매끈하다’, ‘마찰이 없다’, ‘힘 F는 일정하다’라는 키워드가 잘 만들어진 예제 같아서 의아한 사람도 있을 것이다. 실제로 마찰이나 힘을 시간 변동에 따라 운동방정식에 넣는 것은 가능하다. 그런 식으로 운동방정식을 세우면 가속도를 적분해서 속도 함수를 나타낼 수 있다. 또한 속도를 적분하면 위치를 구할 수 있다.

*** 이 책에서는 ‘적분은 넓이를 구하는 계산’이라고 반복해서 설명했다. 하지만 사실 적분으로 구할 수 있는 것은 넓이뿐만이 아니다. 넓이는 물론, 부피나 곡선의 길이도 구할 수 있다. 여기서는 그러한 양을 적분으로 계산하는 방법을 설명하겠다.
구하는 대상은 다르지만, 구하는 대상을 계산할 수 있는 요소(직사각형, 원기둥, 직선) 등으로 분할하고, 분할 수가 무한대가 되는 극한을 구한다는 순서는 변하지 않는다.
부피나 곡선을 구하는 계산을 하는 중에 이 패턴에 익숙해지면 부피에 대한 이해도가 깊어질 것이다.

--- 본문 중에서